Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorPolinomların Eşitliği ve Derece İşlemleri
P(x)=3x36n−xn−5+5P(x) = 3x^{\frac{36}{n}} - x^{n-5} + 5 ifadesi bir polinomdur. Q(x)Q(x) bir polinom olmak üzere,
der[P(x)⋅Q(x)]=15\text{der}[P(x) \cdot Q(x)] = 15
der[P(x2)Q(x)]=24\text{der}\left[\frac{P(x^2)}{Q(x)}\right] = 24
olduğu biliniyor.

Buna göre, der[P(Q(x))]+der[Q(xn)]\text{der}[P(Q(x))] + \text{der}[Q(x^n)] ifadesinin değeri kaçtır?

  1. A
    38
  2. B
    46
  3. C
    51
  4. 62Cevap
  5. E
    78

Cevap

62 değerini içeren seçenek doğrudur.
Doğru cevap 62'dir. P(x)P(x) polinomunun derecesi 13, Q(x)Q(x) polinomunun derecesi 2 ve nn değeri 18 olarak bulunur. Bu değerlere göre bileşke derece der[P(Q(x))]=13⋅2=26\text{der}[P(Q(x))] = 13 \cdot 2 = 26 ve değişkenin kuvveti derecesi der[Q(x18)]=18⋅2=36\text{der}[Q(x^{18})] = 18 \cdot 2 = 36 olup toplamları 62'yi vermektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Polinom tan��mından yararlanarak n parametresinin alabileceği değerler kümesini sınırlandırmak.
n∈{6,9,12,18,36}n \in \{6, 9, 12, 18, 36\}
P(x)P(x) ifadesinin polinom belirtebilmesi için xx değişkeninin tüm üslerinin doğal sayı olması gerekir. 36n∈N\frac{36}{n} \in \mathbb{N} ve n−5≥0n - 5 \ge 0 koşullarından n≥5n \ge 5 ve nn sayısı 36'nın pozitif bir böleni olmalıdır.
2
Verilen derece bağıntılarından P(x) ve Q(x) polinomlarının derecelerini hesaplamak.
der[P(x)]=13\text{der}[P(x)] = 13 ve der[Q(x)]=2\text{der}[Q(x)] = 2
der[P(x)]=p\text{der}[P(x)] = p ve der[Q(x)]=q\text{der}[Q(x)] = q olsun. der[P(x)⋅Q(x)]=p+q=15\text{der}[P(x) \cdot Q(x)] = p + q = 15 ve der[P(x2)/Q(x)]=2p−q=24\text{der}[P(x^2)/Q(x)] = 2p - q = 24 denklemleri taraf tarafa toplanırsa 3p=39  ⟹  p=133p = 39 \implies p = 13 ve q=2q = 2 bulunur.
3
P(x) polinomunun derecesinin 13 olmasını sağlayan n değerini belirlemek.
n=18n = 18
P(x)P(x) polinomunun derecesi terimlerin üslerinin en büyüğüdür. der[P(x)]=max⁡(36n,n−5)=13\text{der}[P(x)] = \max\left(\frac{36}{n}, n-5\right) = 13 eşitliğinden n−5=13  ⟹  n=18n - 5 = 13 \implies n = 18 elde edilir. Bu değer için 3618=2≤13\frac{36}{18} = 2 \le 13 şartı da sağlanır.
4
İstenen bileşke ve kuvvet polinomlarının derecelerinin toplamını hesaplamak.
der[P(Q(x))]+der[Q(x18)]=62\text{der}[P(Q(x))] + \text{der}[Q(x^{18})] = 62
der[P(Q(x))]=der[P(x)]⋅der[Q(x)]=13⋅2=26\text{der}[P(Q(x))] = \text{der}[P(x)] \cdot \text{der}[Q(x)] = 13 \cdot 2 = 26 ve der[Q(x18)]=18⋅der[Q(x)]=18⋅2=36\text{der}[Q(x^{18})] = 18 \cdot \text{der}[Q(x)] = 18 \cdot 2 = 36 değerleri toplanarak 26+36=6226 + 36 = 62 sonucuna ulaşılır.

Anahtar Kavram

Polinom Derece Kuralları ve Polinom Tanım Şartları

Alternatif Yöntem

Polinom dereceleri bulunduktan sonra, nn sayısının alabileceği {6,9,12,18,36}\{6, 9, 12, 18, 36\} değerleri derece tanımında yerine yazılarak kontrol edilebilir ve n=18n = 18 değeri direkt olarak elenebilir/seçilebilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Polinomların Eşitliği ve Derece İşlemleri

Bu konudan daha fazla soru