P(x) ve Q(x) sabit olmayan birer polinomdur. \text{der}[P(x^2 \cdot Q(x))] = 20 \text{der}… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

P(x)

Q(x)

sabit olmayan birer polinomdur.

\text{der}[P(x^2 \cdot Q(x))] = 20

\text{der}[Q(x^3 \cdot P(x))] = 21

olduğuna göre,

\text{der}[P(x^2) \cdot Q^3(x)]

ifadesinin değeri kaçtır?

17 değerini veren seçenek doğrudur.

Verilen iki derece denklemi

a(b + 2) = 20

b(a + 3) = 21

olarak düzenlendiğinde, derecelerin doğal sayı olma zorunluluğundan dolayı tek ortak çözüm

P(x)

'in derecesinin 4,

Q(x)

'in derecesinin ise 3 olmasıdır. Buradan

\text{der}[P(x^2) \cdot Q^3(x)] = 2 \cdot 4 + 3 \cdot 3 = 17

doğru cevabına ulaşılır.

Polinomların derecelerini adlandırarak verilen derece eşitliklerini denklemlere dönüştürün.

\text{der}[P(x)] = a

\text{der}[Q(x)] = b

olsun. Bileşke ve çarpım derece kurallarına göre:
1)

\text{der}[P(x^2 \cdot Q(x))] = \text{der}[P(x)] \cdot \text{der}[x^2 \cdot Q(x)] = a(b + 2) = 20

\text{der}[Q(x^3 \cdot P(x))] = \text{der}[Q(x)] \cdot \text{der}[x^3 \cdot P(x)] = b(a + 3) = 21

denklemleri elde edilir.

Polinomların iç içe yazıldığı durumlarda derece bulmak için

\text{der}[P(U(x))] = \text{der}[P(x)] \cdot \text{der}[U(x)]

kuralı uygulanır.

Polinom derecelerinin doğal sayı olması gerektiği bilgisini kullanarak birinci denklemdeki çarpan adaylarını belirleyin.

a(b + 2) = 20

denkleminde

b \ge 1

olduğundan

b + 2 \ge 3

olmalıdır. 20 sayısının 3'ten büyük veya eşit bölenleri

4, 5, 10, 20

'dir. Buna göre olası

(a, b)

ikilileri:
-

b+2 = 4 \implies b = 2, a = 5

b+2 = 5 \implies b = 3, a = 4

b+2 = 10 \implies b = 8, a = 2

b+2 = 20 \implies b = 18, a = 1

olarak belirlenir.

Polinomların dereceleri doğal sayı olmak zorundadır. Bu durum aday sayısını kısıtlar.

Belirlenen aday ikililerin ikinci denklemi sağlama durumunu kontrol edin.

b(a + 3) = 21

denklemini test edelim:
-

(a, b) = (5, 2) \implies 2 \cdot (5 + 3) = 16 \neq 21

(sağlamaz)
-

(a, b) = (4, 3) \implies 3 \cdot (4 + 3) = 21

(sağlar)
-

(a, b) = (2, 8) \implies 8 \cdot (2 + 3) = 40 \neq 21

(sağlamaz)
-

(a, b) = (1, 18) \implies 18 \cdot (1 + 3) = 72 \neq 21

(sağlamaz)
Buna göre tek çözüm

a = 4

b = 3

değerleridir.

Sistemin tek bir doğru çözümü bulunduğundan, adayların her iki denklemi de sağlaması gerekir.

İstenen ifadenin derecesini hesaplayın.

\text{der}[P(x^2) \cdot Q^3(x)] = \text{der}[P(x^2)] + \text{der}[Q^3(x)] = 2a + 3b

formülünde bulduğumuz değerleri yerine yazarsak:

2(4) + 3(3) = 8 + 9 = 17

elde edilir.

Polinom çarpımının derecesi derecelerin toplamına, üslü ifadelerin derecesi ise derece ile üssün çarpımına eşittir.

Bileşke ve Çarpım Polinomlarında Derece İşlemleri

Soru