Examkin

Soru

Zorluk: OrtaFaktöriyel Kavramı
xx birden büyük bir tam sayı olmak üzere,
(x+2)!−(x+1)!−x!x!−(x−1)!=32\frac{(x+2)! - (x+1)! - x!}{x! - (x-1)!} = 32
olduğuna göre, xx kaçtır?
  1. A
    2
  2. B
    3
  3. 4Cevap
  4. D
    5
  5. E
    6

Cevap

Verilen denklem sadeleştirildiğinde elde edilen rasyonel ifadeden bilinmeyen değer dört olarak bulunur.
Denklemde pay ve payda kısımları sırasıyla en küçük terimler cinsinden ortak paranteze alınıp sadeleştirildiğinde rasyonel ifade sadeleşerek bilinmeyen değerin dört olduğu duruma karşılık gelir. Dört değeri denklemde yerine yazıldığında eşitliğin her iki tarafı da doksan altı sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki faktöriyelli ifadeleri en küçük terim olan x!x! ortak parantezine alarak düzenleyelim.
(x+2)!−(x+1)!−x!=x!⋅[(x+2)(x+1)−(x+1)−1]=x!⋅(x2+3x+2−x−1−1)=x!⋅(x2+2x)=x⋅x!⋅(x+2)(x+2)! - (x+1)! - x! = x! \cdot [(x+2)(x+1) - (x+1) - 1] = x! \cdot (x^2 + 3x + 2 - x - 1 - 1) = x! \cdot (x^2 + 2x) = x \cdot x! \cdot (x+2) elde edilir.
Pay kısmındaki terimleri sadeleştirmeye uygun şekilde çarpanlarına ayırmak için.
2
Payda kısmındaki ifadeleri (x−1)!(x-1)! ortak parantezine alarak düzenleyelim.
x!−(x−1)!=(x−1)!⋅(x−1)x! - (x-1)! = (x-1)! \cdot (x - 1) elde edilir.
Payda kısmındaki terimleri sadeleştirmeye uygun şekilde çarpanlarına ayırmak için.
3
Elde ettiğimiz pay ve payda ifadelerini kesirde yerine koyup sadeleştirelim.
x⋅x!⋅(x+2)(x−1)!⋅(x−1)=32\frac{x \cdot x! \cdot (x+2)}{(x-1)! \cdot (x-1)} = 32
x!=x⋅(x−1)!x! = x \cdot (x-1)! eşitliğini pay kısmında yerine yazarsak:
x⋅x⋅(x−1)!⋅(x+2)(x−1)!⋅(x−1)=x2(x+2)x−1=32\frac{x \cdot x \cdot (x-1)! \cdot (x+2)}{(x-1)! \cdot (x-1)} = \frac{x^2(x+2)}{x-1} = 32
ifadesi elde edilir.
Ortak çarpanları sadeleştirerek denklemi daha basit bir rasyonel biçime getirmek için.
4
Sadeleşmiş denklemi çözelim veya seçenekleri deneyerek eşitliği sağlayan tam sayı değerini bulalım.
x2(x+2)=32(x−1)x^2(x+2) = 32(x-1)
Bilinmeyen değeri yerine dört yazıldığında:
42(4+2)=16⋅6=964^2(4+2) = 16 \cdot 6 = 96
32(4−1)=32⋅3=9632(4-1) = 32 \cdot 3 = 96
Eşitlik sağlandığından aranan değer dört olarak elde edilir.
Faktöriyel tanımı gereği bilinmeyen değer bir doğal sayı olmak zorunda olduğundan, denklemi sağlayan tam sayı değerini belirlemek için.

Anahtar Kavram

Faktöriyelli ifadelerde ortak çarpan parantezine alma ve sadeleştirme
Bu soruyu puanla

Konular

Faktöriyel Kavramı

Bu konudan daha fazla soru