Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKümelerde Kesişim ve Birleşim İşlemleri

Bir kütüphanedeki okuyucuların kitap tercihleriyle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Macera romanı okuyanların kümesi MM,
* Tarih romanı okuyanların kümesi TT,
* Bilim kurgu romanı okuyanların kümesi BB'dir.

Bu kütüphanedeki 80 okuyucunun tamamı bu üç kitap türünden en az birini okumaktadır.

* Bilim kurgu romanı okuyan okuyucuların tamamı tarih romanı da okumakta fakat macera romanı okumamaktadır.
* Sadece tarih romanı okuyan okuyucu sayısı, bilim kurgu romanı okuyan okuyucu sayısının 3 katıdır.
* Sadece macera romanı okuyan okuyucu sayısı, hem macera hem tarih romanı okuyan okuyucu sayısının 4 katıdır.
* Tarih romanı okuyan toplam okuyucu sayısı 32'dir.

Buna göre, bu okuyuculardan yalnız bir kitap türü okuyanların toplam sayısı kaçtır?

  1. A
    51
  2. B
    53
  3. C
    60
  4. 63Cevap
  5. E
    68

Cevap

Yalnız bir kitap türü okuyanların toplam sayısı 63'tür.
Yalnız bir kitap türü okuyanlar, sadece macera romanı okuyanlar (4848) ve sadece tarih romanı okuyanlardır (1515). Bilim kurgu okuyanlar aynı zamanda tarih de okuduğu için yalnız bir kitap türü okuyanlar grubuna dahil edilemezler. Dolayısıyla toplam sayı 48+15=6348 + 15 = 63 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kümelerin ilişkilerini ve birleşim kümesini belirleme
B⊆TB \subseteq T ve B∩M=∅B \cap M = \emptyset olduğundan M∪T∪B=M∪TM \cup T \cup B = M \cup T olur. Dolayısıyla s(M∪T)=80s(M \cup T) = 80 olarak bulunur.
Bilim kurgu okuyanların tamamının tarih okuduğu ve macera okumadığı bilgisiyle kümelerin sınırlarını çizmek için.
2
Sadece macera romanı okuyanların sayısını bulma
s(M∪T)=s(M∖T)+s(T)  ⟹  80=s(M∖T)+32  ⟹  s(M∖T)=48s(M \cup T) = s(M \setminus T) + s(T) \implies 80 = s(M \setminus T) + 32 \implies s(M \setminus T) = 48 olur.
Birleşim kümesinin eleman sayısı formülünü kullanarak sadece macera okuyanların (M∖TM \setminus T) sayısına ulaşmak için.
3
Macera ve tarih romanı ortak okuyucu sayısını hesaplama
s(M∖T)=4⋅s(M∩T)  ⟹  48=4⋅s(M∩T)  ⟹  s(M∩T)=12s(M \setminus T) = 4 \cdot s(M \cap T) \implies 48 = 4 \cdot s(M \cap T) \implies s(M \cap T) = 12 olur.
Soruda verilen 'sadece macera okuyanların sayısı, kesişim kümesinin 4 katıdır' oranını uygulamak için.
4
Tarih kümesinin alt bölgelerini ayrıştırma ve bilim kurgu okuyanların sayısını bulma
s(T)=s(M∩T)+s(B)+s(T∖(M∪B))  ⟹  32=12+s(B)+s(T∖(M∪B))  ⟹  s(B)+s(T∖(M∪B))=20s(T) = s(M \cap T) + s(B) + s(T \setminus (M \cup B)) \implies 32 = 12 + s(B) + s(T \setminus (M \cup B)) \implies s(B) + s(T \setminus (M \cup B)) = 20 elde edilir.
Tarih kümesini oluşturan ayrık bölgelerin eleman sayıları toplamını yazmak için.
5
Bilim kurgu ve sadece tarih okuyanların sayılarını oranlayarak çözme
s(T∖(M∪B))=3⋅s(B)s(T \setminus (M \cup B)) = 3 \cdot s(B) bilgisiyle s(B)=bs(B) = b denirse b+3b=20  ⟹  4b=20  ⟹  b=5b + 3b = 20 \implies 4b = 20 \implies b = 5 ve sadece tarih okuyanlar 3⋅5=153 \cdot 5 = 15 bulunur.
Verilen 3 katı ilişkisini kullanarak denklem sistemini çözmek için.
6
Yalnız bir kitap türü okuyanların toplam sayısını bulma
Sadece macera okuyanlar (4848) ile sadece tarih okuyanların (1515) toplamından 48+15=6348 + 15 = 63 elde edilir.
Bilim kurgu okuyanların tamamı tarih de okuduğundan yalnız bir kitap türü okuyanlar kategorisine giremez, bu yüzden sadece macera ve sadece tarih okuyanlar toplanır.

Anahtar Kavram

Kümelerde birleşim ve kesişim işlemlerinin Venn şeması üzerinde modellenmesi ve alt küme ilişkilerinin eleman sayılarına etkisi.

Alternatif Yöntem

Soru, Venn şeması çizilerek doğrudan çözülebilir. M ve T kümelerini kesiştirip, B kümesini T kümesinin içinde ve M'den tamamen bağımsız (kesişimleri boş küme olacak şekilde) çizerek her bölgeye değişkenler atanır. Verilen denklemler şema üzerinde yerine yazıldığında bilinmeyenler kolayca bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Kümelerde Kesişim ve Birleşim İşlemleri

Bu konudan daha fazla soru