Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÇarpanlara Ayırma ve Özdeşlikler

Bir kenar uzunluğu aa birim olan kare şeklindeki bir kartonun dört köşesinden, bir kenar uzunluğu bb birim olan birer kare kesilerek çıkarılıyor.

Kalan kartonun alanı 4545 birimkare ve a−2b=3a - 2b = 3 birim olduğuna göre, kesilmeden önceki kartonun bir kenar uzunluğu ile kesilen karelerden birinin bir kenar uzunluğunun çarpımı olan a⋅ba \cdot b kaç birimkaredir?

  1. A
    12
  2. B
    15
  3. 27Cevap
  4. D
    36
  5. E
    54

Cevap

Kesilmeden önceki kartonun kenar uzunluğu ile kesilen karelerden birinin kenar uzunluğunun çarpımı olan 27 birimkaredir.
Kalan kartonun alanı, başlangıçtaki alandan kesilen 4 karenin alanının çıkarılmasıyla a2−4b2=45a^2 - 4b^2 = 45 olarak modellenir. Bu ifade iki kare farkı özdeşliğiyle (a−2b)(a+2b)=45(a-2b)(a+2b) = 45 şeklinde yazılır. a−2b=3a-2b = 3 yerine yazıldığında a+2b=15a+2b = 15 elde edilir. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde kartonun bir kenarı a=9a = 9 birim, kesilen karelerden birinin bir kenarı b=3b = 3 birim bulunur. Buradan a⋅b=27a \cdot b = 27 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Başlangıçtaki kartonun alan��nı ve kesilen parçaların toplam alanını değişkenler cinsinden ifade etme.
Başlangıçtaki alan a2a^2, kesilen 4 adet karenin toplam alanı ise 4b24b^2 olur.
Kartonun kalan alanını bulmak için başlangıçtaki alandan kesilen alanların çıkarılması gerekir.
2
Kalan kartonun alanını veren denklemi yazma.
a2−4b2=45a^2 - 4b^2 = 45
Soruda kalan kartonun alanının 45 birimkare olduğu belirtilmiştir.
3
Ende edilen ifadeyi iki kare farkı özdeşliği yardımıyla çarpanlarına ayırma.
(a−2b)(a+2b)=45(a-2b)(a+2b) = 45
a2−4b2a^2 - 4b^2 ifadesi a2−(2b)2a^2 - (2b)^2 şeklinde yazılarak iki kare farkı özdeşliği uygulanabilir.
4
Soruda verilen a−2b=3a-2b=3 değerini denklemde yerine yazarak a+2ba+2b ifadesinin değerini bulma.
3⋅(a+2b)=45  ⟹  a+2b=153 \cdot (a+2b) = 45 \implies a+2b = 15
Çarpımın sonucunu bilinen bir çarpan yardımıyla diğer çarpanı bulmak için kullanırız.
5
a−2b=3a-2b = 3 ve a+2b=15a+2b = 15 denklemlerini ortak çözerek aa ve bb değerlerini bulma.
Denklemler taraf tarafa toplandığında 2a=18  ⟹  a=92a = 18 \implies a = 9 ve buradan b=3b = 3 elde edilir.
İki bilinmeyenli doğrusal denklem sistemini çözerek tekil değişkenlerin değerlerine ulaşırız.
6
İstenen a⋅ba \cdot b çarpımını hesaplama.
a⋅b=9⋅3=27a \cdot b = 9 \cdot 3 = 27
Soruda kesilmeden önceki kenar uzunluğu (aa) ile kesilen bir karenin kenar uzunluğunun (bb) çarpımı sorulmuştur.

Anahtar Kavram

İki kare farkı özdeşliği ve iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin çözümü
Bu soruyu puanla

Konular

Çarpanlara Ayırma ve Özdeşlikler

Bu konudan daha fazla soru