Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorPolinom Tanımı ve Temel Özellikleri
P(x)=(a2−9a+20)x12a−2+(a−4)xa−6+(a−5)x3a−6a−3+3x2−5P(x) = (a^2 - 9a + 20)x^{\frac{12}{a-2}} + (a-4)x^{a-6} + (a-5)x^{\frac{3a-6}{a-3}} + 3x^2 - 5

ifadesi bir polinom belirttiğine göre, aa tam sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    6
  2. 10Cevap
  3. C
    13
  4. D
    15
  5. E
    18

Cevap

Polinom tanımını sağlayan a tam sayılarının toplamı 10'dur.
Polinom tanımına göre, katsayısı sıfırdan farklı olan terimlerin üsleri doğal sayı olmak zorundadır. Katsayısı sıfır olan terimler ise sıfıra eşitleneceğinden üslerinin doğal sayı olması gerekmez. İfadeyi incelediğimizde katsayıları sıfır yapan kritik değerler 4 ve 5 olarak bulunur. 4 değeri yerine konulduğunda katsayısı sıfır olan terim yok olur ve kalan terimler polinom şartını sağlar. 5 değeri yerine konulduğunda ise katsayısı sıfır olmayan terimin üssü negatif (-1) olduğu için polinom oluşmaz. Katsayıların sıfırdan farklı olduğu durumda ise üslerin doğal sayı olma şartından yalnızca 6 değeri elde edilir. Böylece geçerli değerlerin toplamı 10 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Katsayıları sıfır yapan kritik değerleri bulmak için birinci terimin katsayısı çarpanlarına ayrılır.
a2−9a+20=0  ⟹  (a−4)(a−5)=0  ⟹  a=4a^2 - 9a + 20 = 0 \implies (a-4)(a-5) = 0 \implies a = 4 veya a=5a = 5 katsayı kökleridir.
Katsayısı sıfır olan bir terim yutulacağı için o terimin üssünün doğal sayı olma şartı aranmaz. Bu nedenle katsayıyı sıfır yapan değerler özel olarak incelenmelidir.
2
Kritik değerlerden a=4a = 4 ifadesi polinomda yerine yazılarak kontrol edilir.
a=4a = 4 için: P(x)=0⋅x6+0⋅x−2−1⋅x6+3x2−5=−x6+3x2−5P(x) = 0 \cdot x^6 + 0 \cdot x^{-2} - 1 \cdot x^6 + 3x^2 - 5 = -x^6 + 3x^2 - 5 elde edilir.
Elde edilen ifade tüm üsleri doğal sayı olan geçerli bir polinomdur. Dolayısıyla a=4a = 4 geçerli bir değerdir.
3
Kritik değerlerden a=5a = 5 ifadesi polinomda yerine yazılarak kontrol edilir.
a=5a = 5 için: P(x)=0⋅x4+1⋅x−1+0⋅x0+3x2−5=x−1+3x2−5P(x) = 0 \cdot x^4 + 1 \cdot x^{-1} + 0 \cdot x^0 + 3x^2 - 5 = x^{-1} + 3x^2 - 5 elde edilir.
İkinci terimin üssü negatif (-1) olduğundan bu ifade bir polinom belirtmez. Dolayısıyla a=5a = 5 değeri elenir.
4
Katsayıların sıfırdan farklı olduğu durum (a≠4a \neq 4 ve a≠5a \neq 5) için üslerin doğal sayı olma koşulları incelenir.
12a−2∈N\frac{12}{a-2} \in \mathbb{N}, a−6≥0  ⟹  a≥6a-6 \ge 0 \implies a \ge 6 ve 3a−6a−3∈N\frac{3a-6}{a-3} \in \mathbb{N} olmalıdır.
Katsayılar sıfırdan farklı olduğunda tüm değişkenlerin üsleri doğal sayı olmak zorundadır.
5
Elde edilen eşitsizlik ve bölünebilme sınırları kesiştirilerek ortak çözüm aranır.
a≥6a \ge 6 olmalıdır. 12a−2\frac{12}{a-2}'nin doğal sayı olması için a−2a-2, 12'nin pozitif böleni olmalıdır. a≥6a \ge 6 için a−2≥4a-2 \ge 4 olur. 12'nin 4'e eşit veya büyük bölenleri: 4, 6, 12'dir. Buradan a∈{6,8,14}a \in \{6, 8, 14\} adayları bulunur. Bu adaylar arasından yalnızca a=6a = 6 değeri 3a−6a−3=123=4∈N\frac{3a-6}{a-3} = \frac{12}{3} = 4 \in \mathbb{N} şartını sağlar.
Üçüncü terimin üssünün de doğal sayı olmasını sağlayan tek ortak tam sayı değeri a=6a = 6 olarak belirlenir.
6
Geçerli tüm aa değerleri toplanır.
4+6=104 + 6 = 10
Polinom tanımını doğrulayan farklı a değerlerinin toplamına ulaşılır.

Anahtar Kavram

Polinom tanımında terim katsayılarının sıfır olması durumunda üslerin doğal sayı olma zorunluluğunun ortadan kalkması
Bu soruyu puanla

Konular

Polinom Tanımı ve Temel Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru