Examkin

Soru

Zorluk: ZorPermütasyon ve Tekrarlı Permütasyon

Bir pastanede vitrine yan yana dizilecek olan aynı boyuttaki makaronlardan 3'ü çilekli (kırmızı), 2'si yaban mersinli (mavi) ve 2'si fıstıklıdır (yeşil). Vitrinde estetik bir görünüm elde etmek amacıyla aynı renkli herhangi iki makaronun yan yana gelmemesi istenmektedir. Buna göre, bu makaronlar vitrinde yan yana kaç farklı şekilde dizilebilir?

Cevap: 38

Cevap

Aynı renkli makaronların yan yana gelmediği toplam dizilim sayısı 38'dir.
Çilekli makaronlar yan yana gelmeyecek şekilde yerleştirildikten sonra, kalan boşluklarda mavi ve yeşil makaronların yan yana gelmesini engelleyen durumlar sistemli bir biçimde sayıldığında toplam 38 geçerli dizilim elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kırmızı makaronların (KK) yan yana gelmeyeceği taslak durumların sayısını bulun.
Kırmızı makaronlar yan yana gelmeyecek şekilde 7 pozisyondan 3'ü (7−3+13)=(53)=10\binom{7-3+1}{3} = \binom{5}{3} = 10 farklı şekilde seçilebilir.
Kırmızı makaronların yan yana gelmemesi için aralarında en az birer boşluk bulunmalıdır.
2
Kalan 4 boşluğa 2 mavi (MM) ve 2 yeşil (YY) makaronun yerleşimlerini gruplandırarak inceleyin.
Toplam yerleşim sayısı 4!2!⋅2!=6\frac{4!}{2! \cdot 2!} = 6'dır. Boşlukların yan yana gelme durumlarına göre geçerli dizilimler şu şekildedir:
- Boşlukların hiç yan yana gelmediği durum (11 adet): 66 geçerli dizilim.
- Yalnızca tek bir boşluk çiftinin yan yana geldiği durumlar (66 adet): Her biri için 6−2=46 - 2 = 4 geçerli dizilim (toplam 2424).
- İkişerli iki çift boşluğun yan yana geldiği durum (11 adet): 44 geçerli dizilim.
- Üç boşluğun yan yana geldiği durumlar (22 adet): Her biri için 22 geçerli dizilim (toplam 44).
Mavi ve yeşil makaronların da kendi aralarında yan yana gelmemesi koşulunu sağlamak amacıyla yan yana gelen boşluklara aynı renklerin gelmesini engelliyoruz.
3
Tüm gruplardaki geçerli dizilim sayılarını toplayın.
6+24+4+4=386 + 24 + 4 + 4 = 38 geçerli dizilim elde edilir.
Farklı taslak durumlar ayrık olaylar olduğu için toplam dizilim sayısı bu durumların toplamı ile bulunur.

Anahtar Kavram

Tekrarlı permütasyon ve koşullu sıralama problemlerinde durum analizi (vaka analizi) yapılması.
Bu soruyu puanla

Konular

Permütasyon ve Tekrarlı Permütasyon

Bu konudan daha fazla soru