Tam sayılar kümesi \mathbb{Z} üzerinde tanımlı bir f fonksiyonu, f(x) = \begin{cases} x + … — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

Tam sayılar kümesi $\mathbb{Z}$ üzerinde tanımlı bir $f$ fonksiyonu,

f(x) = \begin{cases} x + a, & x \text{ çift ise} \\ x + b, & x \text{ tek ise} \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

$a$ ve $b$ birer tam sayı olmak üzere, $f$ fonksiyonunun bire bir ve örten olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?

A
$a \cdot b$ tek sayıdır.
B
$a - b$ tek sayıdır.
C
$-a > -b$ ise $a > b$ dir.
$a + b$ çift sayıdır.Cevap
E
Tanım ve değer kümeleri gerçel sayılar kümesi ( $\mathbb{R}$ ) olarak değiştirilirse fonksiyon yine bire bir ve örten olur.

Cevap

İki parametrenin toplamının çift sayı olduğunu belirten ifade her zaman doğrudur.

Fonksiyonun bire bir ve örten olabilmesi için tanım kümesindeki tek ve çift sayıların görüntülerinin çakışmaması ve değer kümesindeki tüm tam sayıları kapsaması gerekir. Bu durum, parametrelerin her ikisinin de çift ya da her ikisinin de tek olmasını gerektirir. Aynı teklik-çiftlik karakterine sahip iki tam sayının toplamı her zaman çift sayı olacağından, iki parametrenin toplamının çift sayı olduğunu belirten ifade her zaman doğrudur.

Adım Adım Çözüm

Tanım kümesindeki elemanların tek ve çift olma durumlarına göre görüntü kümesini gruplandırmak.

Girdi olarak çift sayılar (

x = 2k

) seçildiğinde görüntüler

E = 2k + a

kümesini, tek sayılar (

x = 2k+1

) seçildiğinde ise görüntüler

O = 2k + 1 + b

kümesini oluşturur.

Parçalı tanımlanmış fonksiyonun farklı girdiler altında ürettiği çıktıların yapısını incelemek gerekir.

Bire bir ve örtenlik koşulunu görüntü kümeleri üzerinden analiz etmek.

Fonksiyonun bire bir ve örten olması için çift sayıların görüntülerinin kümesi (

E

) ile tek sayıların görüntülerinin kümesi (

O

) ayrık olmalı (

E \cap O = \emptyset

) ve birleşimleri tüm tam sayılar kümesini vermelidir (

E \cup O = \mathbb{Z}

Değer kümesindeki her elemanın yalnızca bir kez eşle��mesi (bire birlik) ve açıkta eleman kalmaması (örtenlik) bu iki kümenin tam sayıları tam olarak bölüşmesini gerektirir.

a

b

parametrelerinin teklik-çiftlik durumunu belirlemek.

a

b

tam sayılarının her ikisinin de çift ya da her ikisinin de tek olması gerektiği sonucuna ulaşılır. Yani

a

b

aynı pariteye sahiptir.

Eğer

a

çift ise

E

kümesi çift sayılardan oluşur ve bu durumda

O

kümesi tek sayılardan oluşmalıdır (bu da

b

'nin çift olmasını gerektirir). Eğer

a

tek ise

E

kümesi tek sayılardan oluşur ve bu durumda

O

kümesi çift sayılardan oluşmalıdır (bu da

b

'nin tek olmasını gerektirir).

Bulunan sonuca göre

a

b

arasındaki teklik-çiftlik ilişkisini toplama işlemine uygulamak.

Aynı pariteye sahip (her ikisi de çift veya her ikisi de tek) iki tam sayının toplamı (

a + b

) her zaman çift bir sayıdır.

Çift + Çift = Çift ve Tek + Tek = Çift temel aritmetik kurallarından dolayı bu toplam her zaman çifttir.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı fonksiyonlarda tanım ve değer kümelerine göre bire birlik ve örtenlik analizi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru