Examkin

Soru

Zorluk: KolayFaktöriyel Kavramı

Ardışık üç pozitif tam sayının çarpımı, bu sayıların en büyüğünün faktöriyeline eşittir.

Buna göre, bu sayıların toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    6
  2. B
    9
  3. 15Cevap
  4. D
    18
  5. E
    21

Cevap

Farklı değerlerin toplamı 15'tir.
Verilen koşula göre oluşturulan x⋅(x+1)⋅(x+2)=(x+2)!x \cdot (x+1) \cdot (x+2) = (x+2)! denkleminde sağ taraf (x+2)(x+1)x!(x+2)(x+1)x! olarak açılır. Sadeleştirme yapıldığında x=x!x = x! eşitliği kalır. Bu eşitliği sağlayan pozitif tam sayılar sadece 1 ve 2'dir. x=1x = 1 için sayıların toplamı 6, x=2x = 2 için ise 9 olmaktadır. Bu iki değerin toplamı 15 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Ardışık üç pozitif tam sayıyı en küçüğü xx olmak üzere xx, x+1x+1 ve x+2x+2 şeklinde belirleyip denklemi kurmak.
x⋅(x+1)⋅(x+2)=(x+2)!x \cdot (x+1) \cdot (x+2) = (x+2)! denklemi elde edilir.
Sözel olarak verilen matematiksel bağıntıyı denklem haline getirmek.
2
Denklemin sağ tarafındaki (x+2)!(x+2)! ifadesini faktöriyel özelliğini kullanarak açmak.
x⋅(x+1)⋅(x+2)=(x+2)⋅(x+1)⋅x!x \cdot (x+1) \cdot (x+2) = (x+2) \cdot (x+1) \cdot x! eşitliği elde edilir.
Her iki taraftaki ortak ifadeleri belirlemek.
3
xx pozitif tam sayı olduğundan sıfırdan farklı olan (x+1)⋅(x+2)(x+1) \cdot (x+2) ifadesini sadeleştirmek.
x=x!x = x! denklemi kalır.
Denklemi sadeleştirerek çözümü kolaylaştırmak.
4
x=x!x = x! eşitliğini sağlayan pozitif tam sayı değerlerini bulmak.
1!=11! = 1 olduğundan x=1x = 1 ve 2!=22! = 2 olduğundan x=2x = 2 bulunur. x≥3x \geq 3 için x!>xx! > x olduğundan başka çözüm yoktur.
Faktöriyel tanımına uyan tüm kökleri belirlemek.
5
Elde edilen xx değerleri için sayı gruplarının toplamını hesaplayıp toplamak.
x=1x=1 için sayılar 1,2,31, 2, 3 olup toplamları 66 olur. x=2x=2 için sayılar 2,3,42, 3, 4 olup toplamları 99 olur. Bu iki toplamın toplamı 6+9=156 + 9 = 15 bulunur.
İstenen farklı değerlerin toplamına ulaşmak.

Anahtar Kavram

Faktöriyel tanımı ve sadeleştirme kuralları
Bu soruyu puanla

Konular

Faktöriyel Kavramı

Bu konudan daha fazla soru