Sayı doğrusu üzerinde bir x gerçel sayısının 3 noktasına olan uzaklığı, -1 noktasına olan … — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

Sayı doğrusu üzerinde bir $x$ gerçel sayısının $3$ noktasına olan uzaklığı, $-1$ noktasına olan uzaklığının $2$ katından küçüktür.

Buna göre, bu eşitsizliği sağlamayan $x$ tam sayıların��n toplamı kaçtır?

Eşitsizliği sağlamayan tam sayıların toplamı -15'tir.

Doğru cevap, eşitsizliği sağlamayan tam sayıların

[-5, 1/3]

kapalı aralığında yer alan

-5, -4, -3, -2, -1

0

sayıları olduğunu ve bu sayıların toplamının

-15

olduğunu gösteren seçenektir.

Sözel olarak verilen ifadeyi mutlak değerli eşitsizlik formuna dönüştürün.

|x - 3| < 2|x - (-1)| \Rightarrow |x - 3| < 2|x + 1|

Sayı doğrusunda iki nokta arasındaki uzaklık mutlak değerle ifade edilir.

Eşitsizliğin her iki tarafının karesini alarak mutlak değerlerden kurtulun.

|x - 3|^2 < (2|x + 1|)^2 \Rightarrow (x - 3)^2 < 4(x + 1)^2

Her iki taraf da negatif olmayan değerler aldığından karesi alındığında eşitsizliğin yönü değişmez.

Parantezleri açarak ifadeyi düzenleyin ve ikinci dereceden bir eşitsizlik elde edin.

x^2 - 6x + 9 < 4(x^2 + 2x + 1) \Rightarrow x^2 - 6x + 9 < 4x^2 + 8x + 4 \Rightarrow 3x^2 + 14x - 5 > 0

Eşitsizliğin bir tarafını sıfır yaparak kök analizi yapabilmek için tüm terimler sağ tarafa toplanır.

İkinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayırarak kökleri bulun.

3x^2 + 14x - 5 = (3x - 1)(x + 5) > 0 \Rightarrow x_1 = -5, \ x_2 = \frac{1}{3}

Eşitsizlik tablosu oluşturarak çözüm kümesini belirlemek için sınır değerler saptanır.

Eşitsizliği sağlayan ve sağlamayan aralıkları belirleyin.

Sağlayan aralık:

x \in (-\infty, -5) \cup \left(\frac{1}{3}, \infty\right)

ve Sağlamayan aralık:

x \in \left[-5, \frac{1}{3}\right]

Baş katsayı pozitif olduğundan tablo

+ \ | \ - \ | \ +

şeklinde işaretlenir. Sıfırdan büyük veya eşit olmayan (sağlamayan) bölge köklerin arasındaki kapalı aralıktır.

Eşitsizliği sağlamayan kapalı aralıktaki tam sayıları toplayın.

Tam sayılar:

\{-5, -4, -3, -2, -1, 0\}

olup toplamı:

-5 + (-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 = -15

İstenen değer sağlamayan tam sayıların toplamıdır.

Mutlak değerli eşitsizliklerin karesel çözüm yöntemi ve sınır değerlerinin tespiti

Tahmini Süre:2m 0s

Soru