Examkin

Soru

Zorluk: ZorMutlak Değerli Eşitsizlikler

Hassas bir üretim bandında üretilen metal çubukların boyları xx santimetredir. Bu çubukların standartlara uygun kabul edilmesi için boylarının 15 santimetreye olan uzaklığının 3 katı, 27 santimetreye olan uzaklığından büyük olmamalıdır.

Buna göre, standartlara uygun bir metal çubuğun boyunun (xx) alabileceği en küçük tam sayı değeri ile en büyük tam sayı değerinin toplamı kaçtır?

Cevap: 27

Cevap

Standartlara uygun bir metal çubuğun boyunun alabileceği en küçük tam sayı değeri ile en büyük tam sayı değerinin toplamı 27'dir.
Verilen problem matematiksel olarak 3∣x−15∣≤∣x−27∣3|x - 15| \leq |x - 27| şeklinde modellenir. Her iki tarafın karesi alındığında x2−27x+162≤0x^2 - 27x + 162 \leq 0 eşitsizliğine ulaşılır. Bu eşitsizlik çarpanlarına ayrıldığında (x−9)(x−18)≤0(x - 9)(x - 18) \leq 0 elde edilir ve xx değişkeninin kapalı aralığı [9,18][9, 18] olarak bulunur. Bu aralıktaki en küçük tam sayı değeri 9, en büyük tam sayı değeri ise 18'dir. Toplamları ise 9+18=279 + 18 = 27 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sözel koşulları cebirsel olarak ifade etmek.
3∣x−15∣≤∣x−27∣3|x - 15| \leq |x - 27|
15'e olan uzaklığın 3 katının (3∣x−15∣3|x-15|), 27'ye olan uzaklıktan (∣x−27∣|x-27|) büyük olmaması (küçük veya eşit olması) koşulu mutlak değer kullanılarak ifade edilmiştir.
2
Mutlak değerli eşitsizliği çözmek için her iki tarafın karesini almak ve sadeleştirmek.
x2−27x+162≤0x^2 - 27x + 162 \leq 0
Her iki taraf pozitif olduğundan, karesi alındığında eşitsizlik yön değiştirmez ve mutlak değer sembolleri ortadan kalkar. 9(x2−30x+225)≤x2−54x+7299(x^2 - 30x + 225) \leq x^2 - 54x + 729 ifadesi düzenlendiğinde bu ikinci dereceden eşitsizlik elde edilir.
3
Elde edilen ikinci dereceden eşitsizliği çarpanlarına ayırarak çözüm kümesini bulmak.
x∈[9,18]x \in [9, 18]
x2−27x+162=(x−9)(x−18)x^2 - 27x + 162 = (x - 9)(x - 18) şeklinde çarpanlarına ayrılır. Çarpımın sıfırdan küçük veya eşit olduğu aralık [9,18][9, 18] kapalı aralığıdır.
4
Sınır tam sayı değerlerini belirleyip toplamak.
2727
Çözüm aralığındaki en küçük tam sayı değeri 9, en büyük tam sayı değeri ise 18'dir. Bu iki değerin toplamı 9+18=279 + 18 = 27 olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli bir eşitsizliğin karesel yöntemle veya kritik nokta analiziyle ikinci dereceden eşitsizliğe dönüştürülerek çözülmesi.

Alternatif Yöntem

Eşitsizlik ∣3x−45∣≤∣x−27∣|3x - 45| \leq |x - 27| şeklinde yazıldıktan sonra kritik noktalar olan x=15x = 15 ve x=27x = 27 sınırlarına göre parçalı fonksiyon olarak incelenebilir:
1) x<15x < 15 için: −(3x−45)≤−(x−27)  ⟹  −3x+45≤−x+27  ⟹  18≤2x  ⟹  x≥9-(3x - 45) \leq -(x - 27) \implies -3x + 45 \leq -x + 27 \implies 18 \leq 2x \implies x \geq 9. Bu bölgedeki çözüm [9,15)[9, 15) aralığıdır.
2) 15≤x<2715 \leq x < 27 için: (3x−45)≤−(x−27)  ⟹  3x−45≤−x+27  ⟹  4x≤72  ⟹  x≤18(3x - 45) \leq -(x - 27) \implies 3x - 45 \leq -x + 27 \implies 4x \leq 72 \implies x \leq 18. Bu bölgedeki çözüm [15,18][15, 18] aralığıdır.
3) x≥27x \geq 27 için: 3x−45≤x−27  ⟹  2x≤18  ⟹  x≤93x - 45 \leq x - 27 \implies 2x \leq 18 \implies x \leq 9. Bu bölgede x≥27x \geq 27 ile kesişim boş kümedir.
Bölgelerin birleşimi [9,18][9, 18] kapalı aralığını verir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Mutlak Değerli Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru