A, B ve C boş kümeden farklı birer küme olmak üzere, bu kümelerin eleman sayıları ile ilgi… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

$A$ , $B$ ve $C$ boş kümeden farklı birer küme olmak üzere, bu kümelerin eleman sayıları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* $A$ , $B$ ve $C$ kümelerinin birleşimi $46$ elemanlıdır.
* $A$ , $B$ ve $C$ kümelerinden yalnız birine ait olan elemanların toplam sayısı $30$ 'dur.
* Kümelerin ikişerli kesişimlerinin eleman sayıları birbirine eşit olup, her biri üç kümenin ortak kesişim kümesinin eleman sayısının $2$ katıdır.

Buna göre, $(A \cap B) \cup (B \cap C)$ kümesinin eleman sayısı kaçt��r?

Cevap: 12

Cevap

İstenen

(A \cap B) \cup (B \cap C)

kümesinin eleman sayısı 12'dir.

(A \cap B) \cup (B \cap C)

kümesinin eleman sayısı

s(A \cap B) + s(B \cap C) - s(A \cap B \cap C)

bağıntısı ile hesaplanır. Verilen eleman sayıları Venn şeması üzerinde yerleştirildiğinde birleşim kümesinin eleman sayısı

30 + 4x = 46

olur. Buradan

x = 4

bulunur. İstenen kümenin eleman sayısı olan

3x

ifadesinde

x = 4

yazıldığında doğru yanıt 12 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

Kümelerin kesişim bölgelerini değişkenlerle ifade etme

s(A \cap B \cap C) = x

iken sadece ikişerli kesişim bölgelerinin her birinin eleman sayısı

x

olarak bulunur.

İkişerli kesişimlerin her biri

2x

elemanlı olduğundan ve üçlü kesişimi (

x

) barındırdığından, sadece ikişerli kesişim bölgelerine

2x - x = x

eleman kalır.

Birleşim kümesinin eleman sayısı denklemini çözerek

x

değerini bulma

30 + 4x = 46 \implies x = 4

elde edilir.

Birleşim kümesindeki tüm ayrık bölgelerin toplamı birleşimin eleman sayısını verir.

İstenen

(A \cap B) \cup (B \cap C)

kümesinin eleman sayısını hesaplama

3x = 12

bulunur.

(A \cap B) \cup (B \cap C)

kümesinin eleman sayısı

s(A \cap B) + s(B \cap C) - s(A \cap B \cap C)

şeklinde ifade edilir ve bu da

2x + 2x - x = 3x

değerine eşittir.

Anahtar Kavram

Kümelerde kesişim ve birleşim işlemlerinin eleman sayısı hesaplamaları ile Venn şeması yardımıyla bölge analizi.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru