Examkin

Soru

Zorluk: OrtaFaktöriyel Kavramı
aa ve bb birden büyük doğal sayılar olmak üzere,
A=(a+1)!−a!(a−1)!A = \frac{(a+1)! - a!}{(a-1)!}
B=(b+1)!+b!(b−1)!B = \frac{(b+1)! + b!}{(b-1)!}
eşitlikleri veriliyor.
A=49A = 49 ve B=80B = 80 olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?
  1. A
    13
  2. B
    14
  3. 15Cevap
  4. D
    16
  5. E
    17

Cevap

15
Verilen ifadeler sadeleştirildiğinde A=a2A = a^2 ve B=b(b+2)B = b(b+2) denklemleri elde edilir. Buradan a2=49a^2 = 49 eşitliğinden a=7a = 7 ve b(b+2)=80b(b+2) = 80 eşitliğinden b=8b = 8 bulunur. aa ve bb değerlerinin toplamı 7+8=157 + 8 = 15 olmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
A ifadesinin pay kısmındaki faktöriyelli terimleri ortak çarpan parantezine alarak sadeleştirin.
A=a2A = a^2 elde edilir.
(a+1)!−a!=a!⋅(a+1−1)=a!⋅a(a+1)! - a! = a! \cdot (a+1 - 1) = a! \cdot a olarak yazılır. Paydadaki (a−1)!(a-1)! terimi ile sadeleştirme yapıldığında a!⋅a(a−1)!=a⋅(a−1)!⋅a(a−1)!=a2\frac{a! \cdot a}{(a-1)!} = \frac{a \cdot (a-1)! \cdot a}{(a-1)!} = a^2 olur.
2
A = 49 eşitliğini kullanarak a değerini bulun.
a=7a = 7 bulunur.
a2=49a^2 = 49 ve aa birden büyük bir doğal sayı olduğundan a=7a = 7 olmalıdır.
3
B ifadesinin pay kısmındaki faktöriyelli terimleri ortak çarpan parantezine alarak sadeleştirin.
B=b(b+2)B = b(b+2) elde edilir.
(b+1)!+b!=b!⋅(b+1+1)=b!⋅(b+2)(b+1)! + b! = b! \cdot (b+1 + 1) = b! \cdot (b+2) olarak yazılır. Paydadaki (b−1)!(b-1)! terimi ile sadeleştirme yapıldığında b!⋅(b+2)(b−1)!=b⋅(b−1)!⋅(b+2)(b−1)!=b(b+2)\frac{b! \cdot (b+2)}{(b-1)!} = \frac{b \cdot (b-1)! \cdot (b+2)}{(b-1)!} = b(b+2) olur.
4
B = 80 eşitliğini kullanarak b değerini bulun.
b=8b = 8 bulunur.
b(b+2)=80b(b+2) = 80 ise b2+2b−80=0b^2 + 2b - 80 = 0 olur. Buradan (b+10)(b−8)=0(b+10)(b-8) = 0 elde edilir. bb birden büyük bir doğal sayı olduğundan b=8b = 8 olmalıdır.
5
Bulunan a ve b değerlerini toplayın.
a+b=15a + b = 15 bulunur.
a=7a = 7 ve b=8b = 8 değerlerinin toplamı 7+8=157 + 8 = 15 sonucunu verir.

Anahtar Kavram

Faktöriyel ifadelerde ortak çarpan parantezine alma ve sadeleştirme

Alternatif Yöntem

Faktöriyelleri tek tek açmak yerine genel n!=n⋅(n−1)!n! = n \cdot (n-1)! özelliği kullanılarak pay kısımları paydadaki terim cinsinden doğrudan sadeleştirilebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Faktöriyel Kavramı

Bu konudan daha fazla soru