Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBire Bir ve Örten Fonksiyonlar

A={1,2,3,4}A = \{1, 2, 3, 4\} olmak üzere, f:A→Af: A \rightarrow A tanımlı bire bir ve örten bir ff fonksiyonu için,

f(1)+f(2)=5f(1) + f(2) = 5
f(2)+f(3)=7f(2) + f(3) = 7

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, f(4)f(4) ifadesinin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    1
  2. B
    2
  3. 3Cevap
  4. D
    5
  5. E
    6

Cevap

f(4) ifadesinin alabileceği farklı değerlerin toplamı 3'tür.
Bire bir ve örtenlik kuralları uygulandığında, f(2)+f(3)=7f(2) + f(3) = 7 eşitliğini sağlayan tek ikilinin {3,4}\{3, 4\} olduğu görülür. Buradan çıkan iki olası eşleşme durumu incelendiğinde, f(4)f(4)'ün alabileceği değerler 1 ve 2 olarak bulunur. Bu değerlerin toplamı 3'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun bire bir ve örtenlik özelliklerini tanım kümesi üzerinde analiz etmek.
f(1)f(1), f(2)f(2), f(3)f(3) ve f(4)f(4) değerleri {1,2,3,4}\{1, 2, 3, 4\} kümesinin elemanları ile bire bir eşleşmelidir. Dolayısıyla bu değerlerin her biri birbirinden farklı olmalıdır.
Bire bir ve örten fonksiyon tanımı gereği tanım kümesindeki her elemanın görüntüsü farklı olmalı ve değer kümesinde açıkta eleman kalmamalıdır.
2
f(2)+f(3)=7f(2) + f(3) = 7 eşitliğini sağlayan eleman çiftini belirlemek.
{1,2,3,4}\{1, 2, 3, 4\} kümesinden toplamları 7 olan tek ikili {3,4}\{3, 4\}'tür. Bu durumda {f(2),f(3)}={3,4}\{f(2), f(3)\} = \{3, 4\} olmalıdır.
Kümedeki diğer hiçbir iki elemanın toplamı 7 etmemektedir.
3
f(2)=4f(2) = 4 durumunu incelemek.
f(2)=4f(2) = 4 ise f(3)=3f(3) = 3 olur. f(1)+f(2)=5f(1) + f(2) = 5 eşitliğinden f(1)+4=5  ⟹  f(1)=1f(1) + 4 = 5 \implies f(1) = 1 elde edilir. Görüntü kümesinde kalan son eleman olan 2 sayısı f(4)f(4)'e eşlenir. Yani f(4)=2f(4) = 2 olur.
Bire bir ve örtenliği korumak için boşta kalan son eleman eşlenmelidir.
4
f(2)=3f(2) = 3 durumunu incelemek.
f(2)=3f(2) = 3 ise f(3)=4f(3) = 4 olur. f(1)+f(2)=5f(1) + f(2) = 5 eşitliğinden f(1)+3=5  ⟹  f(1)=2f(1) + 3 = 5 \implies f(1) = 2 elde edilir. Görüntü kümesinde kalan son eleman olan 1 sayısı f(4)f(4)'e eşlenir. Yani f(4)=1f(4) = 1 olur.
Bire bir ve örtenliği korumak için boşta kalan son eleman eşlenmelidir.
5
f(4)f(4)'ün alabileceği değerlerin toplamını hesaplamak.
Değerlerin toplamı 2+1=32 + 1 = 3 olarak bulunur.
İki farklı durumdan elde edilen olası f(4)f(4) değerleri toplanır.

Anahtar Kavram

Bire Bir ve Örten Fonksiyonlar
Bu soruyu puanla

Konular

Bire Bir ve Örten Fonksiyonlar

Bu konudan daha fazla soru