Examkin

Soru

Zorluk: OrtaPozitif ve Negatif Sayılar
xx, yy ve zz gerçel sayıları için,
x−y>0x - y > 0
y2⋅z≤0y^2 \cdot z \le 0
(x⋅y)3⋅z>0(x \cdot y)^3 \cdot z > 0
eşitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre; xx, yy ve zz sayılarının işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    ++, ++, −-
  2. B
    ++, −-, ++
  3. ++, −-, −-Cevap
  4. D
    −-, ++, −-
  5. E
    −-, −-, −-

Cevap

İşaretler sırasıyla pozitif (++), negatif (−-) ve negatif (−-) olmalıdır.
İkinci eşitsizlikte y2≥0y^2 \ge 0 olduğundan ve üçüncü eşitsizliğin sıfırdan büyük olması gerektiğinden hiçbir değişken sıfır olamaz. Bu nedenle y2>0y^2 > 0 olup z<0z < 0 bulunur. Üçüncü eşitsizlikte z<0z < 0 olduğundan, sonucun pozitif çıkması için (x⋅y)3<0(x \cdot y)^3 < 0, dolayısıyla x⋅y<0x \cdot y < 0 olmalıdır. Buradan xx ile yy'nin zıt işaretli olduğu anlaşılır. Birinci eşitsizlikten x>yx > y olduğuna göre xx pozitif (++) ve yy negatif (−-) olmalıdır. Sırasıyla işaretler ++, −-, −- olarak belirlenir.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci eşitsizlik olan y2⋅z≤0y^2 \cdot z \le 0 ifadesini inceleyelim.
Bir gerçel sayının karesi daima sıfırdan büyük veya eşittir (y2≥0y^2 \ge 0). Ancak üçüncü eşitsizlikte (x⋅y)3⋅z>0(x \cdot y)^3 \cdot z > 0 ifadesinin sıfırdan büyük olması gerektiğinden, xx, yy ve zz sayılarından hiçbirinin sıfır olamayacağını anlarız. Sıfır nötr (işaretsiz) bir sayıdır ve eğer değişkenlerden biri sıfır olsaydı üçüncü eşitsizlikteki çarpım sıfır olurdu. Bu durumda y2>0y^2 > 0 ve z≠0z \neq 0 olduğundan, y2⋅z≤0y^2 \cdot z \le 0 olabilmesi için z<0z < 0 olmalıdır.
Değişkenlerin sıfır olamayacağını saptamak ve zz'nin işaretini belirlemek için.
2
Üçüncü eşitsizlik olan (x⋅y)3⋅z>0(x \cdot y)^3 \cdot z > 0 ifadesini inceleyelim.
z<0z < 0 olduğunu bulmuştuk. Çarpımın sonucunun pozitif (>0>0) olabilmesi için (x⋅y)3(x \cdot y)^3 ifadesinin negatif (<0<0) olması gerekir. Negatif sayıların tek kuvvetleri negatif olduğundan, buradan x⋅y<0x \cdot y < 0 sonucu çıkar. Yani xx ve yy zıt işaretlidir.
xx ve yy'nin işaret ilişkisini bulmak için.
3
Birinci eşitsizlik olan x−y>0x - y > 0 ifadesi ile x⋅y<0x \cdot y < 0 bilgisini birleştirelim.
x−y>0⇒x>yx - y > 0 \Rightarrow x > y olur. xx ve yy zıt işaretli olduğundan, büyük olan sayı pozitif, küçük olan sayı ise negatif olmalıdır. Dolayısıyla x>0x > 0 ve y<0y < 0 bulunur. Sonuç olarak işaretler sırasıyla ++, −-, −- şeklindedir.
xx ve yy'nin işaretlerini kesin olarak belirlemek için.

Anahtar Kavram

Pozitif ve Negatif Sayıların Özellikleri ve Sıfır Sayısının Nötrlüğü
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Pozitif ve Negatif Sayılar

Bu konudan daha fazla soru