Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorPozitif ve Negatif Sayılar
aa, bb ve cc birer gerçel sayı olmak üzere,
−a2⋅b≥0-a^2 \cdot b \geq 0
(−b)3⋅c>0(-b)^3 \cdot c > 0
a⋅(c−b)≥0a \cdot (c - b) \geq 0
eşitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre;
I. b⋅c<0b \cdot c < 0
II. a⋅b<0a \cdot b < 0
III. a3⋅c≥0a^3 \cdot c \geq 0

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    I ve II
  3. I ve IIICevap
  4. D
    II ve III
  5. E
    I, II ve III

Cevap

I ve III ifadelerinin yer aldığı seçenek doğrudur.
I. öncüldeki b⋅c<0b \cdot c < 0 ifadesi her iki durumda da bb ve cc sayılarının zıt işaretli olmasından dolayı her zaman doğrudur. III. öncüldeki a3⋅c≥0a^3 \cdot c \geq 0 ifadesi ise, a=0a=0 iken sıfıra eşitliği, a>0a>0 ve c>0c>0 iken ise pozitifliği sağladığından her zaman doğrudur. Bu nedenle 'I ve III' ifadesini içeren seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
(−b)3⋅c>0(-b)^3 \cdot c > 0 eşitsizliğini çözümleyerek bb ve cc sayılarının işaret ilişkisini belirlemek.
bb ve cc zıt işaretlidir (b⋅c<0b \cdot c < 0). Ayrıca b≠0b \neq 0 ve c≠0c \neq 0 durumları geçerlidir.
(−b)3=−b3(-b)^3 = -b^3 şeklinde yazılabilir. Buradan −b3⋅c>0  ⟹  b3⋅c<0-b^3 \cdot c > 0 \implies b^3 \cdot c < 0 elde edilir. Bir sayının tek kuvveti kendisiyle aynı işaretli olduğundan, bb ve cc zıt işaretli olmalıdır. Çarpım sıfırdan farklı olduğu için terimlerin hiçbiri sıfır olamaz.
2
−a2⋅b≥0-a^2 \cdot b \geq 0 eşitsizliğini, bb sayısının işaretine göre iki durumda incelemek.
Eğer b>0b > 0 ise a=0a = 0 olur. Eğer b<0b < 0 ise aa herhangi bir gerçel sayı olabilir.
b≠0b \neq 0 olduğundan iki ana durum vardır: 1) b>0b > 0 ise, pozitif bir sayıyla çarpıldığında sonucun ≥0\geq 0 kalması için −a2≥0  ⟹  a2≤0-a^2 \geq 0 \implies a^2 \leq 0 olmalıdır. Bu ise yalnızca a=0a = 0 durumunda mümkündür. 2) b<0b < 0 ise, negatif bir sayıyla çarpıldığında sonucun ≥0\geq 0 olması için −a2≤0  ⟹  a2≥0-a^2 \leq 0 \implies a^2 \geq 0 olmalıdır ki bu tüm gerçel sayılar için zaten doğrudur.
3
a⋅(c−b)≥0a \cdot (c - b) \geq 0 eşitsizliğini kullanarak ikinci durumdaki aa sayısını sınırlandırmak.
b<0b < 0 durumunda a≥0a \geq 0 olmal��dır.
b<0b < 0 ise c>0c > 0 olur (zıt işaretli olduklarından). Bu durumda c−b=(pozitif)−(negatif)>0c - b = (\text{pozitif}) - (\text{negatif}) > 0 elde edilir. a⋅(c−b)≥0a \cdot (c - b) \geq 0 eşitsizliğinde her iki taraf pozitif olan c−bc - b ifadesine bölündüğünde a≥0a \geq 0 bulunur.
4
Elde edilen tüm durumları birleştirerek öncülleri değerlendirmek.
I. ve III. öncüller her zaman doğruyken, II. öncül a=0a=0 durumu için yanlıştır.
1. Durum (b>0b > 0, c<0c < 0, a=0a = 0): I. b⋅c<0b \cdot c < 0 (Doğru), II. a⋅b=0<0a \cdot b = 0 < 0 (Yanlış), III. a3⋅c=0≥0a^3 \cdot c = 0 \geq 0 (Doğru). 2. Durum (b<0b < 0, c>0c > 0, a≥0a \geq 0): I. b⋅c<0b \cdot c < 0 (Doğru), II. a⋅b≤0a \cdot b \leq 0 olup a=0a=0 için 0<00 < 0 ifadesi yanlış olur (Her zaman doğru değil), III. a≥0  ⟹  a3≥0a \geq 0 \implies a^3 \geq 0 ve c>0c > 0 olduğundan a3⋅c≥0a^3 \cdot c \geq 0 (Doğru). Sonuç olarak I ve III her zaman doğrudur.

Anahtar Kavram

Pozitif ve negatif sayılarda işaret analizi, sıfırın nötr (işaretsiz) olma özelliği ve eşitsizlik özellikleri.

Alternatif Yöntem

Sayısal değerler vererek seçenekleri eleme yöntemi kullanılabilir. Örneğin, b=1b=1 seçilirse −a2≥0  ⟹  a=0-a^2 \geq 0 \implies a=0 olur. Bu durumda (−b)3⋅c>0  ⟹  −1⋅c>0  ⟹  c<0(-b)^3 \cdot c > 0 \implies -1 \cdot c > 0 \implies c < 0 olur. a=0a=0 ve c<0c < 0 için a⋅(c−b)=0≥0a \cdot (c-b) = 0 \geq 0 sağlanır. Bu değerler altında a⋅b=0a \cdot b = 0 olduğundan II. öncül elenir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Pozitif ve Negatif Sayılar

Bu konudan daha fazla soru