Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorMutlak Değer Kavramı ve Özellikleri

Sayı doğrusu üzerinde yer alan sıfırdan farklı aa, bb ve cc gerçel sayıları ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmektedir:

* a⋅b⋅c>0a \cdot b \cdot c > 0
* a+b+c<0a + b + c < 0
* Bu sayıların başlangıç noktasına olan uzaklıkları arasında ∣a∣<∣b∣<∣c∣|a| < |b| < |c| sıralaması vardır.
* aa sayısının bb sayısına olan uzaklığı, bb sayısının cc sayısına olan uzaklığının 22 katıdır.

Buna göre,

I. a⋅b<0a \cdot b < 0
II. c<b<ac < b < a
III. ∣a∣+3∣b∣=2∣c∣|a| + 3|b| = 2|c|

ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    I ve II
  3. C
    I ve III
  4. D
    II ve III
  5. I, II ve IIICevap

Cevap

I, II ve III öncüllerinin tamamı doğrudur.
Yapılan analizler sonucunda a sayısının pozitif, b ve c sayılarının ise negatif olması gerektiği kanıtlanmıştır. Buna göre sayı doğrusundaki sıralama kesinlikle c < b < 0 < a biçimindedir. Buradan hareketle birinci öncüldeki a.b < 0 eşitsizliği ve ikinci öncüldeki c < b < a sıralaması doğrulanır. Ayrıca uzaklık ilişkisinden elde edilen a + 2c = 3b denkleminde sayılar mutlak değer tanımlarına uygun biçimde yerlerine yazıldığında, üçüncü öncüldeki mutlak değerli eşitliğin her zaman sağlandığı görülür.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen çarpım ve toplam eşitsizliklerini inceleyerek sayıların işaret durumlarını analiz etmek.
a, b ve c sayılarından iki tanesi negatif, bir tanesi pozitiftir.
a⋅b⋅c>0a \cdot b \cdot c > 0 olduğuna göre sayılar ya tamamen pozitif ya da ikisi negatif biri pozitiftir. Ancak a+b+c<0a+b+c < 0 bilgisi, sayıların hepsinin pozitif olma durumunu eler. Dolayısıyla sayılardan tam olarak ikisi negatif, biri pozitiftir.
2
Uzaklık denklemini ve başlangıç noktasına olan uzaklık sıralamasını (∣a∣<∣b∣<∣c∣|a| < |b| < |c|) kullanarak pozitif sayının c olamayacağını göstermek.
c say��sı pozitif olamaz.
Eğer c>0c > 0 olsaydı, a<0a < 0 ve b<0b < 0 olurdu. ∣a∣<∣b∣<∣c∣|a| < |b| < |c| sıralaması gereği sayı doğrusundaki sıralama b<a<0<cb < a < 0 < c şeklinde olurdu. Bu durumda ∣a−b∣=a−b|a-b| = a-b ve ∣b−c∣=c−b|b-c| = c-b olur. ∣a−b∣=2∣b−c∣|a-b| = 2|b-c| denkleminde yazılırsa: a−b=2(c−b)⇒a+b=2ca-b = 2(c-b) \Rightarrow a+b = 2c elde edilir. Ancak sol taraf iki negatif sayının toplamı olduğundan negatif, sağ taraf ise c>0c>0 olduğundan pozitif olur. Negatif = Pozitif çelişkisinden dolayı cc pozitif olamaz.
3
Benzer analizi b sayısı için yaparak tek tutarlı durumu belirlemek.
a sayısı pozitif (a>0a > 0), b ve c sayıları ise negatiftir (b<0,c<0b < 0, c < 0). Sayı doğrusundaki sıralama da c<b<0<ac < b < 0 < a şeklindedir.
Eğer b>0b > 0 olsaydı, c<a<0<bc < a < 0 < b olurdu. Buradan ∣a−b∣=b−a|a-b| = b-a ve ∣b−c∣=b−c|b-c| = b-c elde edilirdi. Denklemde yerine yazıldığında b−a=2(b−c)⇒2c−a=bb-a = 2(b-c) \Rightarrow 2c - a = b bağıntısına ulaşılırdı. Sol taraf negatif, sağ taraf ise pozitif olacağından bu da bir çelişkidir. O halde tek olasılık a>0a > 0, b<0b < 0 ve c<0c < 0 olmasıdır. Bu durumda sıralama c<b<0<ac < b < 0 < a olur ve ∣a−b∣=a−b|a-b| = a-b, ∣b−c∣=b−c|b-c| = b-c bağıntılarından a−b=2(b−c)⇒a+2c=3ba-b = 2(b-c) \Rightarrow a+2c = 3b denklemi sağlanır (örneğin a=1,b=−3,c=−5a=1, b=-3, c=-5 bu durumu doğrular).
4
Elde edilen işaret ve denklem bağıntılarını kullanarak öncülleri test etmek.
I, II ve III öncüllerinin tamamı doğrudur.
a>0a > 0 ve b<0b < 0 olduğundan a⋅b<0a \cdot b < 0 her zaman doğrudur (I. öncül). Sıralama c<b<0<ac < b < 0 < a olduğundan c<b<ac < b < a sıralaması kesinlikle doğrudur (II. öncül). a>0⇒∣a∣=aa > 0 \Rightarrow |a| = a, b<0⇒b=−∣b∣b < 0 \Rightarrow b = -|b| ve c<0⇒c=−∣c∣c < 0 \Rightarrow c = -|c| eşitlikleri a+2c=3ba+2c=3b denkleminde yerine yazılırsa: ∣a∣−2∣c∣=−3∣b∣⇒∣a∣+3∣b∣=2∣c∣|a| - 2|c| = -3|b| \Rightarrow |a| + 3|b| = 2|c| bağıntısına ulaşılır (III. öncül).

Anahtar Kavram

Mutlak değerin sayı doğrusu üzerindeki uzaklık anlamı ve değişkenlerin işaretlerine göre mutlak değer dışına çıkarılması
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Mutlak Değer Kavramı ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru