Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorPozitif ve Negatif Sayılar
aa, bb ve cc gerçel sayıları için
a3⋅b<0a^3 \cdot b < 0
a2⋅(c−b)≤0a^2 \cdot (c - b) \le 0
b3⋅c≥0b^3 \cdot c \ge 0
eşitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre,
I. a2−a⋅ba^2 - a \cdot b
II. b2−a⋅bb^2 - a \cdot b
III. (a−b)2(a - b)^2
IV. b2⋅c2b^2 \cdot c^2
V. c⋅(b−a)c \cdot (b - a)

ifadelerinden kaç tanesinin değeri kesinlikle pozitif bir gerçel sayıdır?

Cevap: 3

Cevap

Verilen eşitsizlikleri sağlayan tüm gerçel sayı durumları için I, II ve III numaralı ifadelerin değerleri kesinlikle pozitif bir gerçel sayıdır. IV ve V numaralı ifadeler ise c=0c = 0 durumunda sıfıra eşit olabildikleri için kesinlikle pozitif değillerdir. Bu nedenle doğru cevap 3'tür.
Verilen eşitsizliklerden aa ile bb'nin zıt işaretli olduğu ve c≤bc \le b olduğu bulunur. b>0b > 0 durumunda 0≤c≤b0 \le c \le b ve a<0a < 0 elde edilir. Bu durumda cc sıfır değerini alabilir. b<0b < 0 durumunda ise c<0c < 0 ve a>0a > 0 olur. Bu iki duruma göre; a2−aba^2 - ab ve b2−abb^2 - ab ifadeleri her zaman pozitif çarpanların çarpımı veya kareler toplamı biçiminde yazılıp pozitif bulunur. (a−b)2(a-b)^2 ifadesi a≠ba \ne b olduğundan sıfırdan farklı bir sayının karesi olarak daima pozitiftir. Ancak b2⋅c2b^2 \cdot c^2 ve c⋅(b−a)c \cdot (b - a) ifadeleri c=0c = 0 durumunda sıfıra eşit oldukları için kesinlikle pozitif değildirler. Bu yüzden yalnızca 3 ifade kesinlikle pozitiftir.

Adım Adım Çözüm

1
a3⋅b<0a^3 \cdot b < 0 eşitsizliğinin analiz edilmesi
a≠0a \ne 0, b≠0b \ne 0 ve aa ile bb zıt işaretlidir.
Çarpımın sıfırdan küçük olması için çarpanların sıfırdan farklı ve zıt işaretli olması gerekir.
2
a2⋅(c−b)≤0a^2 \cdot (c - b) \le 0 eşitsizliğinin analiz edilmesi
c≤bc \le b
a≠0a \ne 0 olduğundan a2>0a^2 > 0 olur ve eşitsizliğin her iki tarafı pozitif bir sayıya bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirmez.
3
b3⋅c≥0b^3 \cdot c \ge 0 eşitsizliğinin b>0b > 0 ve b<0b < 0 durumlarına göre incelenmesi
b>0b > 0 iken 0≤c≤b0 \le c \le b ve a<0a < 0; b<0b < 0 iken c≤b<0c \le b < 0 ve a>0a > 0 elde edilir.
b3b^3 teriminin işareti bb'nin işaretiyle aynıdır. b<0b < 0 durumunda eşitsizliği b3b^3 ile bölerken negatif bir sayıya bölündüğü için yön değiştirme kuralı uygulanmalıdır.
4
Öncüllerdeki ifadelerin işaretlerinin her iki durum için ayrı ayrı kontrol edilmesi
I, II ve III kesinlikle pozitif; IV ve V ise c=0c = 0 durumunda sıfıra eşit olabildiği için kesinlikle pozitif değildir.
Sıfır sayısı nötrdür, işareti yoktur ve pozitif kabul edilemez. Bu nedenle sıfır olabilen ifadeler kesinlikle pozitif sınıfına girmez.

Anahtar Kavram

Pozitif ve negatif sayılarda işaret analizi, sıfırın nötr olma özelliği ve negatif sayıların kuvvetlerinde eşitsizlik yön değişimi
Bu soruyu puanla

Konular

Pozitif ve Negatif Sayılar

Bu konudan daha fazla soru