Bir spor kulübünde tenis (T), yüzme (Y) ve koşu (K) branşlarından en az birini yapan sporc… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

Bir spor kulübünde tenis ( $T$ ), yüzme ( $Y$ ) ve koşu ( $K$ ) branşlarından en az birini yapan sporcular bulunmaktadır. Bu sporcularla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Yüzme yapan her sporcu tenis de yapmaktadır.
* Koşu yapan sporcuların hiçbiri yüzme yapmamaktadır.
* Sadece tenis yapan sporcu sayısı, hem tenis hem koşu yapan sporcu sayısının $2$ katıdır.
* Bu kulüpte yüzme yapan $12$ , koşu yapan $15$ sporcu bulunmaktadır.

Kulüpteki toplam sporcu sayısı $35$ olduğuna göre, tenis yapan sporcu sayısı kaçtır?

A
20
24Cevap
C
26
D
28
E
30

Cevap

Tenis yapan sporcu sayısı 24'tür.

Verilen bilgilere göre yüzme kümesi tenisin alt kümesidir ve koşu kümesiyle kesişimi boştur. Kümeler ayrıştırıldığında sadece tenis yapanların sayısı 8, hem tenis hem koşu yapanların sayısı 4 ve yüzme yapanların sayısı 12 olarak bulunur. Bu üç grubun toplamı tenis yapanların sayısını verir: 12 + 8 + 4 = 24.

Adım Adım Çözüm

Kümeler arasındaki ilişkileri belirlemek ve eleman sayılarını değişkenlerle ifade etmek.

Yüzme yapan her sporcu tenis de yaptığı için

Y \subseteq T

olur. Koşu yapanların hiçbiri yüzme yapmadığı için

Y \cap K = \emptyset

olur. Sadece tenis yapanların sayısını

z

, hem tenis hem koşu yapanların sayısını

x

, sadece koşu yapanların sayısını

y

ile gösterelim. Bu durumda

z = 2x

olur.

Soruda verilen küme ilişkilerini matematiksel olarak modellemek için.

Koşu yapan sporcu sayısı ve toplam sporcu sayısı denklemlerini yazarak bilinmeyenleri çözmek.

Koşu yapanların sayısı:

s(K) = x + y = 15

olur. Toplam sporcu sayısı tüm bölgelerin toplamıdır:

s(Y \cup T \cup K) = s(Y) + z + x + y = 35 \implies 12 + z + (x + y) = 35 \implies 12 + z + 15 = 35 \implies 27 + z = 35 \implies z = 8

bulunur.

Verilen toplam sporcu sayısı ve koşu yapan sporcu sayısı değerlerini kullanarak sadece tenis yapanların sayısını bulmak için.

Kesişim kümesinin eleman sayısını bulmak ve tenis yapan toplam sporcu sayısını hesaplamak.

z = 2x \implies 8 = 2x \implies x = 4

olur. Tenis yapan sporcu sayısı:

s(T) = s(Y) + z + x = 12 + 8 + 4 = 24

olarak bulunur.

İstenen tenis yapan toplam sporcu sayısına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Kümelerde kesişim, birleşim ve alt küme özellikleri kullanılarak eleman sayısı problemlerinin çözümü.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru