Examkin

Soru

Zorluk: OrtaMutlak Değer Kavramı ve Özellikleri

Sıfırdan farklı her xx ve yy gerçel sayısı için ∣x+y∣<∣x∣+∣y∣|x + y| < |x| + |y| eşitsizliği, xx ve yy sayılarının zıt işaretli olması durumunda her zaman sağlanır.

Cevap: Cevap

Cevap

Sıfırdan farklı zıt işaretli her xx ve yy gerçel sayısı için ∣x+y∣<∣x∣+∣y∣|x + y| < |x| + |y| eşitsizliği her zaman doğrudur.
Zıt işaretli iki gerçel sayının toplamının mutlak değeri, sayıların mutlak değerlerinin ayrı ayrı toplamından küçüktür. Çünkü zıt işaretli sayılar birbirini sadeleştirici (azaltıcı) etki yaparken, mutlak değerlerinin toplamında bu etki olmamakta ve daha büyük bir değer elde edilmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin zıt işaretli olması durumunu matematiksel olarak tanımlayalım.
xx ve yy sıfırdan farklı ve zıt işaretli ise, biri pozitif diğeri negatiftir. Bu durum x⋅y<0x \cdot y < 0 olarak ifade edilir.
İ��aret analizini cebirsel olarak yapabilmek için çarpımlarının işaretini belirlememiz gerekir.
2
İfadenin her iki tarafının karesini alarak karşılaştırma yapalım.
Sol tarafın karesi: ∣x+y∣2=(x+y)2=x2+2xy+y2|x + y|^2 = (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2. Sağ tarafın karesi: (∣x∣+∣y∣)2=∣x∣2+2∣x∣∣y∣+∣y∣2=x2+2∣xy∣+y2(|x| + |y|)^2 = |x|^2 + 2|x||y| + |y|^2 = x^2 + 2|xy| + y^2.
Mutlak değerli ifadeleri karşılaştırmak için karelerini almak işaret belirsizliğini ortadan kaldırır.
3
Elde edilen kareleri karşılaştıralım.
x⋅y<0x \cdot y < 0 olduğundan, xy<∣xy∣xy < |xy| olur. Bu nedenle, x2+2xy+y2<x2+2∣xy∣+y2x^2 + 2xy + y^2 < x^2 + 2|xy| + y^2 eşitsizliği yazılır. Buradan ∣x+y∣2<(∣x∣+∣y∣)2|x + y|^2 < (|x| + |y|)^2 ve dolayısıyla ∣x+y∣<∣x∣+∣y∣|x + y| < |x| + |y| elde edilir.
xyxy negatif bir sayı iken ∣xy∣|xy| pozitif bir sayı olduğundan, negatif değer pozitif değerden her zaman küçüktür.

Anahtar Kavram

Mutlak değerin üçgen eşitsizliği özelliği ve geometrik yorumu
Bu soruyu puanla

Konular

Mutlak Değer Kavramı ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru