Examkin

Soru

Zorluk: ZorBire Bir ve Örten Fonksiyonlar
Tanım ve değer kümeleri gerçel sayıların alt kümeleri olan
f(x)=(3−a)x+7f(x) = (3 - a)x + 7
fonksiyonu f:[2,∞)→(−∞,3]f: [2, \infty) \rightarrow (-\infty, 3] biçiminde tanımlanıyor.
ff fonksiyonu bire bir ve örten olduğuna göre, aa gerçel sayısı kaçtır?
  1. A
    1
  2. B
    2
  3. C
    4
  4. 5Cevap
  5. E
    7

Cevap

5
Bir doğrusal fonksiyonun tanımlı olduğu aralıkta bire bir ve örten olabilmesi için fonksiyonun bu aralıkta sürekli artan ya da sürekli azalan olması gerekir. Değer kümesi (−∞,3](-\infty, 3] olarak verildiği için fonksiyonun azalan olması zorunludur. Dolayısıyla eğim negatif olmalıdır: 3−a<0  ⟹  a>33 - a < 0 \implies a > 3. Azalan bir fonksiyonun [2,∞)[2, \infty) aralığındaki en büyük değeri tanım kümesinin başlangıç noktası olan x=2x = 2 için gerçekleşir. Fonksiyonun örten olması için bu en büyük değerin değer kümesinin üst sınırı olan 3'e eşit olması gerekir. Buradan f(2)=3f(2) = 3 eşitliği elde edilir. Fonksiyon kuralında x=2x = 2 yazılarak (3−a)⋅2+7=3(3 - a) \cdot 2 + 7 = 3 denklemi çözüldüğünde a=5a = 5 bulunur. 5 değeri a>3a > 3 şartını sağladığından doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun artanlık/azalanlık durumunu belirleme
3−a<0  ⟹  a>33 - a < 0 \implies a > 3
Değer kümesi (−∞,3](-\infty, 3] biçiminde yukarıdan sınırlı ve aşağıdan sınırsız olduğu için doğrusal fonksiyonun azalan olması gerekir. Bu nedenle eğim (x'in katsayısı) negatif olmalıdır.
2
Örtenlik şartını kullanarak sınır değerini eşitleme
f(2)=3f(2) = 3
Azalan bir fonksiyon, [2,∞)[2, \infty) aralığında en büyük değerini sol uç nokta olan x=2x = 2 noktasında alır. Fonksiyonun değer kümesini tamamen örtebilmesi için bu en büyük değer, değer kümesinin üst sınırı olan 3'e eşit olmalıdır.
3
Elde edilen denklemi çözerek a de��erini bulma
a=5a = 5
f(2)=(3−a)⋅2+7=3  ⟹  6−2a+7=3  ⟹  13−2a=3  ⟹  2a=10  ⟹  a=5f(2) = (3 - a) \cdot 2 + 7 = 3 \implies 6 - 2a + 7 = 3 \implies 13 - 2a = 3 \implies 2a = 10 \implies a = 5 işlemleri uygulanır. Bulunan 5 değeri a>3a > 3 şartını sağladığı için geçerlidir.

Anahtar Kavram

Doğrusal fonksiyonların belirli aralıklarda bire bir ve örtenlik koşulları
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Bire Bir ve Örten Fonksiyonlar

Bu konudan daha fazla soru