Examkin

Soru

Zorluk: ZorÖnermeler ve Bağlaçlar

Sıfıra eşit olmayan aa, bb ve cc tam sayıları için aşağıdaki önermeler tanımlanmıştır:

pp: "aa ve bb sayıları zıt işaretlidir."
qq: "bb ve cc sayıları aynı işaretlidir."
rr: "a+c>0a + c > 0"

((p′⇒q)′∨(q∨r′))≡0((p' \Rightarrow q)' \lor (q \lor r')) \equiv 0

olduğuna göre; aa, bb ve cc tam sayılarının işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    +, +, -
  2. B
    +, -, -
  3. +, -, +Cevap
  4. D
    -, -, +
  5. E
    -, +, -

Cevap

İşaretler sırasıyla +, -, + şeklindedir.
Bileşik önermenin doğruluk değeri 0 olduğuna göre, veya bağlacının özelliğinden dolayı her iki bileşenin de 0 olması gerekir. Buradan ((p′⇒q)′≡0((p' \Rightarrow q)' \equiv 0 ve q∨r′≡0q \lor r' \equiv 0 elde edilir. İkinci kısımdan q≡0q \equiv 0 ve r′≡0⇒r≡1r' \equiv 0 \Rightarrow r \equiv 1 bulunur. Birinci kısımda ise p′⇒q≡1p' \Rightarrow q \equiv 1 olur. q≡0q \equiv 0 olduğundan, p′⇒0≡1p' \Rightarrow 0 \equiv 1 ifadesinin doğru olması için p′≡0p' \equiv 0 yani p≡1p \equiv 1 olmalıdır. Bulunan doğruluk değerlerine göre, pp önermesi doğru olduğundan aa ve bb zıt işaretlidir. qq önermesi yanlış olduğundan bb ve cc aynı işaretli değildir, yani zıt işaretlidir. Bu durumda aa ve cc aynı işaretli olur. rr önermesi doğru olduğundan a+c>0a + c > 0 dır. Aynı işaretli iki sayının toplamı pozitif olduğundan hem aa hem de cc pozitif olmak zorundadır. aa pozitif ve bb ile zıt işaretli olduğundan bb negatif olmalıdır. Dolayısıyla işaretler sırasıyla +, -, + şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşik önermenin doğruluk değerini bileşenlerine ayırmak.
((p′⇒q)′∨(q∨r′))≡0((p' \Rightarrow q)' \lor (q \lor r')) \equiv 0 ise veya (∨\lor) bağlacının kuralı gereği hem (p′⇒q)′≡0(p' \Rightarrow q)' \equiv 0 hem de q∨r′≡0q \lor r' \equiv 0 olmalıdır.
Veya bağlacıyla bağlanmış iki ifadenin sonucu ancak her iki bileşen de yanlış (0) olduğunda yanlış olur.
2
qq ve rr önermelerinin doğruluk değerlerini bulmak.
q∨r′≡0q \lor r' \equiv 0 ifadesinden q≡0q \equiv 0 ve r′≡0⇒r≡1r' \equiv 0 \Rightarrow r \equiv 1 bulunur.
Veya bağlacının özelliğinden dolayı qq ve r′r' sıfıra eşit olmalıdır, dolayısıyla rr önermesi 1 olur.
3
pp önermesinin doğruluk değerini bulmak.
(p′⇒q)′≡0⇒p′⇒q≡1(p' \Rightarrow q)' \equiv 0 \Rightarrow p' \Rightarrow q \equiv 1 olur. q≡0q \equiv 0 değerini yerine yazarsak p′⇒0≡1p' \Rightarrow 0 \equiv 1 elde edilir. İse bağlacının kuralına göre sonucun 1 olması için önermenin birinci kısmının 0 olması gerekir, yani p′≡0⇒p≡1p' \equiv 0 \Rightarrow p \equiv 1 bulunur.
İse (⇒\Rightarrow) bağlacında sonucun 1, ikinci bileşenin 0 olduğu tek durum, birinci bileşenin de 0 olması durumudur.
4
Önermelerin doğruluk değerlerini sayılarla ilişkilendirmek.
p≡1p \equiv 1 olduğundan aa ve bb zıt işaretlidir. q≡0q \equiv 0 olduğundan bb ve cc aynı işaretli değildir, yani zıt işaretlidir. Bu durumda aa ve cc aynı işaretli olur.
Bulunan doğruluk değerleri (p≡1p \equiv 1, q≡0q \equiv 0) önermelerin sözel ifadeleriyle karşılaştırılarak sayıların işaret ilişkileri belirlenir.
5
aa, bb ve cc tam sayılarının kesin işaretlerini belirlemek.
r≡1r \equiv 1 olduğundan a+c>0a + c > 0 dır. aa ve cc aynı işaretli olduğundan ve toplamları pozitif olduğundan her ikisi de pozitif (a>0a > 0, c>0c > 0) olmalıdır. aa pozitif ve bb ile zıt işaretli olduğundan bb negatif (b<0b < 0) olur. Dolayısıyla işaretler sırasıyla +, -, + şeklindedir.
Aynı işaretli iki sayının toplamının pozitif olması, her iki sayının da pozitif olmasını gerektirir. Buradan hareketle tüm değişkenlerin işaretleri kesinleşir.

Anahtar Kavram

Bileşik önermelerin doğruluk değerlerinin çözümlenmesi ve bu değerlerin reel/tam sayı özellikleri ve eşitsizlikler ile ilişkilendirilmesi.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Önermeler ve Bağlaçlar

Bu konudan daha fazla soru