Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÖnermeler ve Bağlaçlar
A={3,5,7,9,12,13,15,17}A = \{3, 5, 7, 9, 12, 13, 15, 17\} kümesi veriliyor.
Bu kümenin bir nn elemanı için,
p:n bir tek sayıdır.q:n≥5r:n bir asal sayıdır.\begin{aligned} p&: n \text{ bir tek sayıdır.} \\ q&: n \geq 5 \\ r&: n \text{ bir asal sayıdır.} \end{aligned}
önermeleri tanımlanıyor.

(p∧q)⇒r(p \wedge q) \Rightarrow r ��nermesi yanlış bir önerme olduğuna göre, nn sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    12
  2. B
    15
  3. 24Cevap
  4. D
    36
  5. E
    42

Cevap

Koşulları sağlayan değerlerin toplamı 24'tür.
Verilen (p∧q)⇒r(p \wedge q) \Rightarrow r önermesinin yanlış olması için önermenin birinci kısmının doğru (p∧q≡1p \wedge q \equiv 1), ikinci kısmının ise yanlış (r≡0r \equiv 0) olması gerekir. p∧q≡1p \wedge q \equiv 1 olması için hem pp hem de qq önermelerinin doğru olması gerekir; yani nn sayısı tek sayı ve 5'ten büyük veya eşit olmalıdır. AA kümesinde bu şartı sağlayan sayılar 5, 7, 9, 13, 15 ve 17'dir. r≡0r \equiv 0 şartı ise nn sayısının asal olmaması gerektiğini ifade eder. Bu gruptaki sayılardan asal olmayanlar sadece 9 ve 15'tir. Bu değerlerin toplamı ise 24 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Koşullu önermenin yanlış olma durumunu belirleme.
(p∧q)⇒r≡0(p \wedge q) \Rightarrow r \equiv 0 olması için p∧q≡1p \wedge q \equiv 1 ve r≡0r \equiv 0 olmalıdır.
Bir ise (\Rightarrow) bağlacı sadece birinci önerme doğru, ikinci önerme yanlış iken sıfır değerini alır.
2
İlk bileşenin doğru olma koşulunu inceleme.
p∧q≡1p \wedge q \equiv 1 olması için hem p≡1p \equiv 1 hem de q≡1q \equiv 1 olmalıdır. Buradan nn sayısının hem tek sayı olması hem de 55 veya daha büyük olması gerektiği anlaşılır.
Ve (\wedge) bağlacının sonucunun doğru olması için bağlanan her iki önermenin de doğru olması gerekir.
3
İlk koşulu sağlayan küme elemanlarını belirleme.
AA kümesindeki 55 ve 55'ten büyük tek sayılar: {5,7,9,13,15,17}\{5, 7, 9, 13, 15, 17\} elemanlarıdır.
Kümedeki çift eleman olan 12 ve 5'ten küçük eleman olan 3 elenir.
4
İkinci bileşenin yanlış olma koşulunu (asal olmama) uygulama.
r≡0r \equiv 0 olması nn sayısının asal sayı olmaması (bileşik sayı olması) anlamına gelir. Belirlenen {5,7,9,13,15,17}\{5, 7, 9, 13, 15, 17\} kümesindeki asal olmayan sayılar 99 ve 1515'tir.
9 sayısı 3×33 \times 3, 15 sayısı ise 3×53 \times 5 şeklinde çarpanlara ayrılabildiği için asal değildir. Diğer sayılar asaldır.
5
Koşulları sağlayan değerlerin toplamını hesaplama.
9+15=249 + 15 = 24
Soru bizden bu koşulu sağlayan farklı n değerlerinin toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

İse bağlacının doğruluk tablosu ve temel sayı kümeleri özellikleri
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Önermeler ve Bağlaçlar

Bu konudan daha fazla soru