Examkin

Soru

Zorluk: ZorMutlak Değerli Eşitsizlikler

Bir gıda laboratuvarında üretilen zeytinyağlarının asitlik derecesi ölçülmektedir. Yapılan ölçümlerdeki hata payı en fazla 0,20,2 birimdir. Laboratuvarda asitlik derecesi xx olarak ölçülen bir zeytinyağının gerçek asitlik derecesi yy olmak üzere,

∣y−x∣≤0,2|y - x| \leq 0,2

bağıntısı geçerlidir.

Ger��ek asitlik derecesi 0,80,8 ile 1,61,6 arasında (sınırlar dahil) olan zeytinyağları 'Naturel Sızma' olarak sınıflandırılmaktadır.

Buna göre, ölçülen asitlik derecesi xx olan bir zeytinyağının gerçekte kesinlikle 'Naturel Sızma' sınıfına ait olması için xx değerinin alabileceği tüm değerleri ifade eden eşitsizlik aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    ∣x−1,2∣≤0,4|x - 1,2| \leq 0,4
  2. B
    ∣x−1,2∣≤0,6|x - 1,2| \leq 0,6
  3. ∣x−1,2∣≤0,2|x - 1,2| \leq 0,2Cevap
  4. D
    ∣x−1,2∣<0,2|x - 1,2| < 0,2
  5. E
    ∣x−1,4∣≤0,2|x - 1,4| \leq 0,2

Cevap

∣x−1,2∣≤0,2|x - 1,2| \leq 0,2 eşitsizliğidir.
Ölçülen asitlik derecesi xx olan zeytinyağının gerçek asitlik derecesi yy, ∣y−x∣≤0,2|y - x| \leq 0,2 eşitsizliğine göre x−0,2≤y≤x+0,2x - 0,2 \leq y \leq x + 0,2 aralığındadır. Bu zeytinyağının kesinlikle 'Naturel Sızma' sınıfına (yani 0,8≤y≤1,60,8 \leq y \leq 1,6 aralığına) ait olması için, yy'nin alabileceği tüm değerlerin bu aralıkta kalması gerekir. Bu da [x−0,2,x+0,2]⊆[0,8,1,6][x - 0,2, x + 0,2] \subseteq [0,8, 1,6] olmasını gerektirir. Buradan x−0,2≥0,8  ⟹  x≥1,0x - 0,2 \geq 0,8 \implies x \geq 1,0 ve x+0,2≤1,6  ⟹  x≤1,4x + 0,2 \leq 1,6 \implies x \leq 1,4 elde edilir. Dolayısıyla 1,0≤x≤1,41,0 \leq x \leq 1,4 olmalıdır. Bu aralığın orta noktası 1,21,2 ve yarı genişliği 0,20,2 olduğundan, mutlak değerli eşitsizlik ifadesi ∣x−1,2∣≤0,2|x - 1,2| \leq 0,2 şeklinde olur.

Adım Adım Çözüm

1
Hata payı bağıntısını açarak gerçek değerin aralığını bulunuz.
∣y−x∣≤0,2  ⟹  x−0,2≤y≤x+0,2|y - x| \leq 0,2 \implies x - 0,2 \leq y \leq x + 0,2 elde edilir.
Ölçülen xx değerine bağlı olarak gerçek asitlik derecesi yy'nin hangi aralıkta yer alabileceğini belirlemek için.
2
Gerçek değerin kesinlikle 'Naturel Sızma' sınırlarında kalması koşulunu uygulayınız.
[x−0,2,x+0,2]⊆[0,8,1,6][x - 0,2, x + 0,2] \subseteq [0,8, 1,6] olmalıdır. Buradan x−0,2≥0,8  ⟹  x≥1,0x - 0,2 \geq 0,8 \implies x \geq 1,0 ve x+0,2≤1,6  ⟹  x≤1,4x + 0,2 \leq 1,6 \implies x \leq 1,4 bulunur. Sonuç olarak 1,0≤x≤1,41,0 \leq x \leq 1,4 elde edilir.
Zeytinyağın��n her koşulda 'Naturel Sızma' sınıfına ait olmasını garanti altına almak için en kötü durum senaryolarındaki sınırları belirlemek amacıyla.
3
Elde edilen kapalı aralığı mutlak değerli eşitsizlik formuna dönüştürünüz.
Aralığın orta noktası 1,0+1,42=1,2\frac{1,0 + 1,4}{2} = 1,2, sınır değerlerine olan uzaklığı (yarı genişlik) 1,4−1,2=0,21,4 - 1,2 = 0,2 birimdir. Buradan eşitsizlik ∣x−1,2∣≤0,2|x - 1,2| \leq 0,2 olarak yazılır.
Soru kökündeki cebirsel ifadeyi mutlak değer gösterimine çevirmek için.

Anahtar Kavram

Bir aralığın alt küme ilişkisi kullanılarak mutlak değerli eşitsizlik şeklinde modellenmesi.

Alternatif Yöntem

Eşitsizliği değer vererek veya sınır değerlerini doğrudan deneyerek de çözebilirsiniz. Örneğin, sınır değerleri olan x=1,0x = 1,0 ve x=1,4x = 1,4 için gerçek asitlik derecesi sınırları tam olarak sağlandığından, ölçüm aralığının [1,0,1,4][1,0, 1,4] kapalı aralığı olduğu görülür. Bu aralığı veren mutlak değerli ifade doğrudan seçeneklerden kontrol edilerek doğru cevaba ulaşılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Mutlak Değerli Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru