Examkin

Soru

Zorluk: ZorMutlak Değerli Eşitsizlikler
∣x2−4∣≤∣x−2∣|x^2 - 4| \leq |x - 2|

eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
  1. A
    -6
  2. -4Cevap
  3. C
    -2
  4. D
    0
  5. E
    6

Cevap

Eşitsizliği sağlayan x tam sayılarının toplamı -4 değeridir.
Eşitsizlik ∣x−2∣(∣x+2∣−1)≤0|x - 2|(|x + 2| - 1) \leq 0 şeklinde çarpanlara ayrıldığında, her xx gerçel sayısı için ∣x−2∣≥0|x - 2| \geq 0 olduğundan çözüm iki durumdan gelir: ya ∣x−2∣=0|x - 2| = 0 (yani x=2x = 2) ya da ∣x+2∣−1≤0|x + 2| - 1 \leq 0 (yani −3≤x≤−1-3 \leq x \leq -1) olur. Bu iki kümenin birleşiminden elde edilen tam sayılar −3,−2,−1-3, -2, -1 ve 22 olup toplamları -4 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliğin sol tarafındaki ifadeyi iki kare farkı özdeşliği ve mutlak değerin çarpım özelliğini kullanarak çarpanlarına ayırın.
∣x−2∣⋅∣x+2∣≤∣x−2∣|x - 2| \cdot |x + 2| \leq |x - 2|
x2−4=(x−2)(x+2)x^2 - 4 = (x-2)(x+2) olduğundan ∣x2−4∣=∣x−2∣∣x+2∣|x^2-4| = |x-2||x+2| olarak yazılabilir.
2
Tüm ifadeleri sol tarafa toplayarak ortak çarpan parantezine alın.
∣x−2∣⋅(∣x+2∣−1)≤0|x - 2| \cdot (|x + 2| - 1) \leq 0
Eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak için çarpanlar��n işaretlerini incelemek gerekir.
3
Çarpanların sıfırdan küçük veya eşit olma durumlarını inceleyin.
∣x−2∣=0|x - 2| = 0 veya ∣x+2∣−1≤0|x + 2| - 1 \leq 0
Her xx gerçel sayısı için ∣x−2∣≥0|x - 2| \geq 0 olduğundan, çarpımın sonucunun sıfırdan küçük veya eşit olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması ya da ikinci çarpanın negatif olması gerekir.
4
Her iki durumu ayrı ayrı çözün.
x=2x = 2 ve −3≤x≤−1-3 \leq x \leq -1
∣x−2∣=0⇒x=2|x - 2| = 0 \Rightarrow x = 2 olur. ∣x+2∣≤1⇒−1≤x+2≤1⇒−3≤x+2≤1⇒−3≤x≤−1|x + 2| \leq 1 \Rightarrow -1 \leq x + 2 \leq 1 \Rightarrow -3 \leq x + 2 \leq 1 \Rightarrow -3 \leq x \leq -1 elde edilir.
5
Bulunan çözüm aralıklarındaki tam sayıları listeleyin.
−3,−2,−1-3, -2, -1 ve 22
Hem aralıktaki uç değerler dahil olduğundan hem de tek nokta çözümü olan 22 gerçel sayısı birer tam sayıdır.
6
Bu tam sayıları toplayın.
−3+(−2)+(−1)+2=−4-3 + (-2) + (-1) + 2 = -4
İstenen tam sayıların toplamına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli ifadelerin çarpım özelliği ve mutlak değerin negatif olamama kuralı.
Bu soruyu puanla

Konular

Mutlak Değerli Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru