Examkin

Soru

Zorluk: ZorMutlak Değer Kavramı ve Özellikleri

Sıfırdan farklı aa ve bb gerçel sayıları için ∣a∣−∣b∣<∣a−b∣|a| - |b| < |a - b| eşitsizliğinin sağlanması için aa ve bb say��larının zıt işaretli olması zorunludur.

Cevap: Cevap

Cevap

Verilen ifade yanlıştır, çünkü aa ve bb sayıları aynı işaretli olduğunda da ∣a∣<∣b∣|a| < |b| koşulu sağlandığı sürece eşitsizlik geçerliliğini korur.
Verilen ifade yanlıştır çünkü aa ve bb sayılarının zıt işaretli olması bir zorunluluk değildir; aynı işaretli olduklarında da ∣a∣<∣b∣|a| < |b| koşulu sağlandığı sürece eşitsizlik doğru olmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliğin sağlanmadığı karşıt durumları bulmak amacıyla ∣a∣−∣b∣≥∣a−b∣|a| - |b| \geq |a - b| durumunu inceleyelim.
Mutlak değerin temel özelliklerinden olan üçgen eşitsizliğine göre her a,b∈Ra, b \in \mathbb{R} için ∣a∣−∣b∣≤∣a−b∣|a| - |b| \leq |a - b| eşitsizliği daima doğrudur. Bu nedenle, ilk eşitsizliğin sağlanmaması sadece ∣a∣−∣b∣=∣a−b∣|a| - |b| = |a - b| eşitliği durumunda gerçekleşebilir.
Eşitsizliğin geçerli olmadığı sınır koşullarını belirleyerek çözüm kümesini daha net görebilmek için.
2
∣a−b∣=∣a∣−∣b∣|a - b| = |a| - |b| eşitliğini sağlayan koşullar�� bulmak için denklemi çözelim.
Eşitliğin sol tarafı mutlak değer olduğundan negatif olamaz, dolayısıyla ∣a∣≥∣b∣|a| \geq |b| olmalıdır. Her iki tarafın karesini aldığımızda: (a−b)2=(∣a∣−∣b∣)2  ⟹  a2−2ab+b2=a2−2∣ab∣+b2  ⟹  ab=∣ab∣(a - b)^2 = (|a| - |b|)^2 \implies a^2 - 2ab + b^2 = a^2 - 2|ab| + b^2 \implies ab = |ab| elde edilir. Bu eşitlik ise ancak ab≥0ab \geq 0 olduğunda geçerlidir.
Mutlak değer dışına çıkarma kurallarını uygulayabilmek amacıyla karesel açılım yapmak için.
3
Elde edilen sonuçları birleştirerek ∣a∣−∣b∣<∣a−b∣|a| - |b| < |a - b| eşitsizliğinin sağlandığı aralıkları belirleyelim.
Eşitsizlik sadece ab≥0ab \geq 0 (aynı işaretli veya sıfır) ve ∣a∣≥∣b∣|a| \geq |b| durumunda sa��lanmaz. Soruda sayıların sıfırdan farklı olduğu belirtildiğinden, eşitsizlik şu iki durumda daima sağlanır: 1) ab<0ab < 0 (zıt işaretli olmaları) veya 2) ab>0ab > 0 iken ∣a∣<∣b∣|a| < |b| (aynı işaretli olmaları fakat bb'nin mutlak değerce daha büyük olması).
Eşitsizliğin doğru olduğu tüm durumların analizini tamamlamak için.
4
Aynı işaretli olup eşitsizliği sağlayan somut bir karşıt örnek gösterelim.
a=2a = 2 ve b=5b = 5 seçelim. Her ikisi de pozitif (aynı işaretli) sayılardır. Eşitsizlikte yerine yazdığımızda ∣2∣−∣5∣<∣2−5∣  ⟹  −3<3|2| - |5| < |2 - 5| \implies -3 < 3 olur ki bu doğrudur. Dolayısıyla zıt işaretli olma zorunluluğu yoktur.
İddia edilen zorunluluğun aksini kanıtlayan bir örnek sunarak çözümü netleştirmek için.

Anahtar Kavram

Mutlak değerin üçgen eşitsizliği özelliği ve sayı doğrusu üzerindeki geometrik anlamı.
Bu soruyu puanla

Konular

Mutlak Değer Kavramı ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru