Examkin

Soru

Zorluk: OrtaPozitif ve Negatif Sayılar

xx, yy ve zz birer gerçel sayı olmak üzere,

x−y2>0x - y^2 > 0
y⋅z3=0y \cdot z^3 = 0
x3⋅z5<0x^3 \cdot z^5 < 0

eşitsizlik ve eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisinin değeri her zaman pozitiftir?

  1. A
    y−z2y - z^2
  2. B
    x⋅z−yx \cdot z - y
  3. x−z3x - z^3Cevap
  4. D
    z−x2z - x^2
  5. E
    (y−x)2⋅z(y - x)^2 \cdot z

Cevap

x−z3x - z^3 ifadesi her zaman pozitiftir.
Bulunan x>0x > 0, y=0y = 0 ve z<0z < 0 değerlerine göre, z3z^3 ifadesi negatif bir sayının tek kuvveti olduğu için negatiftir. Dolayısıyla −z3-z^3 ifadesi pozitif bir değer alır. Pozitif bir sayı olan xx ile pozitif olan −z3-z^3 ifadesinin toplamı (x−z3x - z^3) her zaman pozitif bir sonuç verir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliği inceleyerek sıfır olan değişkeni belirleme
y=0y = 0 olduğu bulunur.
y⋅z3=0y \cdot z^3 = 0 eşitliğine göre y=0y = 0 veya z=0z = 0 olmalıdır. Ancak x3⋅z5<0x^3 \cdot z^5 < 0 eşitsizliği xx ve zz değerlerinin sıfırdan farklı olduğunu gösterir (z≠0z \neq 0). Bu durumda y=0y = 0 olmak zorundadır. Sıfır sayısı işaretsiz (nötr) bir sayıdır.
2
xx sayısının işaretini belirleme
x>0x > 0 olduğu bulunur.
x−y2>0x - y^2 > 0 eşitsizliğinde y=0y = 0 değeri yerine yazıldığında x−02>0  ⟹  x>0x - 0^2 > 0 \implies x > 0 elde edilir.
3
zz sayısının işaretini belirleme
z<0z < 0 olduğu bulunur.
x3⋅z5<0x^3 \cdot z^5 < 0 eşitsizliğinde x>0x > 0 olduğundan x3>0x^3 > 0 olur. Çarpımın negatif olabilmesi için z5<0z^5 < 0 olmalıdır. Tek kuvveti negatif olan gerçel sayıların kendisi de negatif olduğundan z<0z < 0 bulunur.
4
Seçenekleri analiz ederek her zaman pozitif olan ifadeyi bulma
x−z3>0x - z^3 > 0 olduğu doğrulanır.
x>0x > 0 ve z<0z < 0 olduğundan, negatif bir sayının tek kuvveti negatif olacağı için z3<0z^3 < 0 olur. Buradan −z3>0-z^3 > 0 elde edilir. Dolayısıyla, pozitif bir sayı olan xx ile pozitif bir sayı olan −z3-z^3 toplandığında sonuç her zaman pozitif olur (x−z3>0x - z^3 > 0).

Anahtar Kavram

Pozitif, negatif ve nötr (sıfır) gerçel sayıların kuvvetleri ve temel aritmetik işlemleri altındaki işaret değişimleri.

Alternatif Yöntem

Değişkenlere uygun değerler verilerek seçenekler elenebilir. Örneğin; y=0y = 0, x=1x = 1 ve z=−1z = -1 seçilirse verilen eşitlik ve eşitsizlikler sağlanır. Bu değerler seçeneklerde yerine yazıldığında sırasıyla ilk seçenek −1-1, ikinci seçenek −1-1, üçüncü seçenek (doğru cevap) 22, dördüncü seçenek −2-2 ve beşinci seçenek −1-1 değerini alır. Bu pratik yöntemle de doğru seçeneğe hızlıca ulaşılabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Pozitif ve Negatif Sayılar

Bu konudan daha fazla soru