Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

Bir okulda düzenlenen iki farklı seminere katılan öğrenciler üzerine bir araştırma yapılmıştır. Bu okulda bulunan tüm öğrencilerin kümesi evrensel küme EE, birinci seminere katılan öğrencilerin kümesi AA ve ikinci seminere katılan öğrencilerin kümesi BB olarak tanımlanmıştır.

Bu kümelerle ilgili a��ağıdaki bilgiler verilmiştir:
* İki seminere de katılmayan öğrenci sayısı, sadece ikinci seminere katılan öğrenci sayısının yarısına eşittir.
* Birinci seminere katılıp ikinci seminere katılmayan öğrenci sayısı, iki seminere de katılan öğrenci sayısının 22 katına eşittir.
* Bu okulda toplam 4848 öğrenci bulunmaktadır.
* Birinci seminere katılmayan öğrenci sayısı 1818'dir.

Buna g��re, birinci seminere katılmayan öğrencilerin kümesi A′A' ve ikinci seminere katılmayan öğrencilerin kümesi B′B' olmak üzere, s(A′∖B′)s(A' \setminus B') değeri kaçtır?

  1. A
    6
  2. B
    8
  3. 12Cevap
  4. D
    20
  5. E
    22

Cevap

Doğru cevap 12'dir.
Doğru cevap, birinci seminere katılmayan fakat ikinci seminere katılan öğrencilerin sayısı olan 12'dir. A′∖B′=B∖AA' \setminus B' = B \setminus A eşitliği kullanılarak bu bölgedeki eleman sayısı 12 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kümelerdeki bölgeleri isimlendirme ve verilen bağıntıları denklem haline getirme.
s(A∖B)=xs(A \setminus B) = x, s(B∖A)=ys(B \setminus A) = y, s(A∩B)=zs(A \cap B) = z ve s((A∪B)′)=ws((A \cup B)') = w olsun. Bu durumda evrensel kümenin eleman sayısı s(E)=x+y+z+w=48s(E) = x + y + z + w = 48 olur.
Soruda verilen sözel ifadeleri matematiksel denklemlere dönüştürmek için her bir bölgeyi değişkenlerle temsil ederiz.
2
Birinci seminere katılmayanlar ve her iki seminere de katılmayanlar ile ilgili denklemleri çözme.
İki seminere de katılmayanlar w=y2  ⟹  y=2ww = \frac{y}{2} \implies y = 2w ve birinci seminere katılmayanlar s(A′)=y+w=18s(A') = y + w = 18 olduğundan, 2w+w=18  ⟹  3w=18  ⟹  w=62w + w = 18 \implies 3w = 18 \implies w = 6 ve y=12y = 12 bulunur.
Birinci seminere katılmayanlar kümesi A′A' olup sadece ikinci seminere katılanlar ile hiçbirine katılmayanların toplamıdır. Buradan yy ve ww değerlerini elde ederiz.
3
Toplam öğrenci sayısı ve diğer bölgelerin eleman sayılarını bulma.
x+12+z+6=48  ⟹  x+z=30x + 12 + z + 6 = 48 \implies x + z = 30 olur. x=2zx = 2z verildiğinden, 2z+z=30  ⟹  3z=30  ⟹  z=102z + z = 30 \implies 3z = 30 \implies z = 10 ve x=20x = 20 bulunur.
Evrensel kümenin toplam eleman sayısını kullanarak xx ve zz değerlerini buluruz.
4
İstenen küme işleminin ifadesini sadeleştirip sonucu bulma.
s(A′∖B′)=s(A′∩(B′)′)=s(A′∩B)=s(B∖A)=y=12s(A' \setminus B') = s(A' \cap (B')') = s(A' \cap B) = s(B \setminus A) = y = 12 bulunur.
Fark ve tümleme işlemlerinin özelliklerini kullanarak A′∖B′A' \setminus B' kümesinin aslında B∖AB \setminus A (sadece ikinci seminere katılanlar) kümesine eşit olduğunu belirleriz.

Anahtar Kavram

Kümelerde fark ve tümleme işlemlerinin özellikleri ile Venn şeması üzerinde bölge analizi.
Bu soruyu puanla

Konular

Kümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

Bu konudan daha fazla soru