Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKümelerde Kesişim ve Birleşim İşlemleri

Bir turizm acentesi ile seyahate çıkan 60 kişilik bir turist grubunun ziyaret ettiği bölgelerle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Her bir turist; Kapadokya (KK), Efes (EE) ve Pamukkale (PP) bölgelerinden en az birini ziyaret etmiştir.
* Kapadokya'yı ziyaret eden turistlerin tamamı Efes'i de ziyaret etmiştir.
* Bu üç bölgeyi de ziyaret eden turist bulunmamaktadır.
* Sadece Pamukkale'yi ziyaret edenlerin sayısı, bu üç bölgeden tam olarak ikisini ziyaret edenlerin toplam sayısına eşittir.
* Efes'i ziyaret eden turist sayısı, Pamukkale'yi ziyaret eden turist sayısından 12 fazladır.
* Kapadokya'yı ziyaret eden turist sayısı 9'dur.

Buna göre, yalnız Efes'i ziyaret eden turist sayısı kaçtır?

  1. A
    18
  2. B
    19
  3. 22Cevap
  4. D
    25
  5. E
    28

Cevap

Yalnız Efes'i ziyaret eden turist sayısı 22'dir.
Kapadokya, Efes kümesinin bir alt kümesidir (K⊂EK \subset E) ve Kapadokya ile Pamukkale kümeleri ayrık kümelerdir (K∩P=∅K \cap P = \emptyset). Sorudaki yönergeler doğrultusunda turistlerin dağılımı k=9k = 9, p=9+yp = 9 + y ve e=p+3e = p + 3 şeklinde yazılıp toplam turist sayısına eşitlendiğinde p=19p = 19 ve buradan yalnız Efes'i ziyaret edenlerin sayısı 22 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kümeler arasındaki alt küme ve kesişim ilişkilerini belirlemek.
Kapadokya'yı ziyaret edenlerin tamamı Efes'i de ziyaret ettiğinden K⊂EK \subset E olur. Üç bölgeyi de ziyaret eden turist bulunmadığı için Kapadokya ile Pamukkale kümelerinin kesişimi boştur (K∩P=∅K \cap P = \emptyset).
Soruda verilen sözel ifadeleri küme sembolleriyle ifade ederek bölgeleri sadeleştirmek gerekir.
2
Turist gruplarını Venn şeması bölgelerine göre harflendirmek ve denklemleri kurmak.
Yalnız Kapadokya ve Efes'e gidenler k=9k = 9 kişidir. Yalnız Efes'e gidenler ee, Efes ve Pamukkale'ye gidenler yy, yalnız Pamukkale'ye gidenler pp olsun. Buradan; k+e+y+p=60  ⟹  9+e+y+p=60  ⟹  e+y+p=51k + e + y + p = 60 \implies 9 + e + y + p = 60 \implies e + y + p = 51 elde edilir. Tam iki bölgeyi ziyaret edenler k+y=9+yk + y = 9 + y kişidir. O halde p=9+y  ⟹  y=p−9p = 9 + y \implies y = p - 9 olur.
Turistlerin bölge dağ��lımlarını matematiksel olarak ifade ederek bilinmeyen sayısını azaltmak hedeflenir.
3
Efes ve Pamukkale'yi ziyaret edenlerin farkına dair denklemi kurup çözmek.
Efes'i ziyaret edenler k+e+yk + e + y, Pamukkale'yi ziyaret edenler y+py + p kişidir. İki grubun farkı: (9+e+y)−(y+p)=12  ⟹  9+e−p=12  ⟹  e−p=3  ⟹  e=p+3(9 + e + y) - (y + p) = 12 \implies 9 + e - p = 12 \implies e - p = 3 \implies e = p + 3 olur. Toplam denkleminde ee ve yy değerlerini pp cinsinden yazarsak: (p+3)+(p−9)+p=51  ⟹  3p−6=51  ⟹  3p=57  ⟹  p=19(p + 3) + (p - 9) + p = 51 \implies 3p - 6 = 51 \implies 3p = 57 \implies p = 19 bulunur. Buradan yalnız Efes'i ziyaret eden turist sayısı e=19+3=22e = 19 + 3 = 22 olarak elde edilir.
Elde edilen tek bilinmeyenli birinci dereceden denklem çözülerek istenen bölgedeki eleman sayısına ulaşılır.

Anahtar Kavram

Kümelerde kesişim, birleşim ve alt küme ilişkilerinin sözel problemler üzerinde denklem kurularak çözülmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Kümelerde Kesişim ve Birleşim İşlemleri

Bu konudan daha fazla soru