Examkin

Soru

Zorluk: ZorKümelerde Kesişim ve Birleşim İşlemleri
Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde AA, BB ve CkC_k kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır:
A={x∈Z+∣x≤200, x sayısı 3 ile tam bo¨lu¨nu¨r}A = \{x \in \mathbb{Z}^+ \mid x \le 200, \text{ } x \text{ sayısı 3 ile tam bölünür}\}
B={x∈Z+∣x≤200, x sayısı 5 ile tam bo¨lu¨nu¨r}B = \{x \in \mathbb{Z}^+ \mid x \le 200, \text{ } x \text{ sayısı 5 ile tam bölünür}\}
Ck={x∈Z+∣x≤200, x sayısı k ile tam bo¨lu¨nu¨r}C_k = \{x \in \mathbb{Z}^+ \mid x \le 200, \text{ } x \text{ sayısı } k \text{ ile tam bölünür}\}
kk bir pozitif tam sayı olmak üzere,
s((A∪B)∩Ck)=13s((A \cup B) \cap C_k) = 13
olduğuna g��re, kk sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
  1. A
    15
  2. B
    20
  3. 22Cevap
  4. D
    23
  5. E
    30

Cevap

Farklı kk değerlerinin toplamı 22'dir.
Doğru cevap olan 22 değeri, kk sayısının alabileceği farklı değerler olan 7 ve 15 sayılarının toplamıdır. Dağılma özelliği ve birleşim kümesinin eleman sayısı formülü kullanılarak s((A∩Ck)∪(B∩Ck))=s(A∩Ck)+s(B∩Ck)−s(A∩B∩Ck)s((A \cap C_k) \cup (B \cap C_k)) = s(A \cap C_k) + s(B \cap C_k) - s(A \cap B \cap C_k) eşitliği kurulur. kk sayısının 3 ve 5 ile aralarında asal olduğu durumda k=7k = 7 değeri; kk sayısının 15'in katı olduğu durumda ise CkC_k kümesinin A∪BA \cup B kümesinin alt kümesi olması sayesinde k=15k = 15 değeri denklemi sağlar. Bu iki değerin toplamı 22'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Dağılma özelliğini kullanarak kesişim ve birleşim işlemlerini düzenleyin.
s((A∪B)∩Ck)=s((A∩Ck)∪(B∩Ck))s((A \cup B) \cap C_k) = s((A \cap C_k) \cup (B \cap C_k)) eşitliği elde edilir.
Birleşim kümesinin eleman sayısı formülünü uygulayabilmek için ifadeyi dağıtmak kolaylık sağlar.
2
Birleşim kümesinin eleman sayısı formülünü uygulayın.
s((A∩Ck)∪(B∩Ck))=s(A∩Ck)+s(B∩Ck)−s(A∩B∩Ck)s((A \cap C_k) \cup (B \cap C_k)) = s(A \cap C_k) + s(B \cap C_k) - s(A \cap B \cap C_k) denklemi elde edilir.
İki kümenin birleşiminin eleman sayısı, kümelerin eleman sayıları toplamından kesişimlerinin eleman sayısının çıkarılmasıyla bulunur.
3
kk sayısının 3 ve 5 ile aralarında asal olduğu (EBOB(k,15)=1EBOB(k, 15) = 1) durumu inceleyin.
Bu durumda ekok(3,k)=3k\text{ekok}(3, k) = 3k, ekok(5,k)=5k\text{ekok}(5, k) = 5k ve ekok(15,k)=15k\text{ekok}(15, k) = 15k olur. Denklemimiz:
⌊2003k⌋+⌊2005k⌋−⌊20015k⌋=13\lfloor \frac{200}{3k} \rfloor + \lfloor \frac{200}{5k} \rfloor - \lfloor \frac{200}{15k} \rfloor = 13
halini alır. k=7k = 7 için:
⌊20021⌋+⌊20035⌋−⌊200105⌋=9+5−1=13\lfloor \frac{200}{21} \rfloor + \lfloor \frac{200}{35} \rfloor - \lfloor \frac{200}{105} \rfloor = 9 + 5 - 1 = 13
sağlanır. Bu gruptaki tek çözüm k=7k = 7 değeridir.
kk değerinin 15 ile ortak böleni olmadığında eleman sayıları doğrudan bölünme kurallarına göre hesaplanır.
4
kk sayısının 3 veya 5'in katı olduğu durumları inceleyin.
Eğer kk, 15'in katı ise (k=15mk = 15m), CkC_k kümesi hem AA'nın hem de BB'nin alt kümesi olur. Bu durumda (A∪B)∩Ck=Ck(A \cup B) ∩ C_k = C_k elde edilir. Buradan s(Ck)=⌊200/k⌋=13  ⟹  k=15s(C_k) = \lfloor 200/k \rfloor = 13 \implies k = 15 bulunur. (Diğer k=3mk = 3m veya k=5mk = 5m durumları incelendiğinde de tek tutarlı çözümün k=15k = 15 olduğu görülür).
kk sayısı ile 3 ve 5 arasındaki ortak bölen durumlarına göre kesişim kümelerinin kapsam ilişkilerini belirlemek gerekir.
5
Bulunan farklı kk değerlerini toplayın.
7+15=227 + 15 = 22 elde edilir.
Soruda alabileceği farklı değerlerin toplamı istendiği için bulunan tüm geçerli kk değerleri toplanır.

Anahtar Kavram

Kümelerde kesişim, birleşim ve kapsam ilişkileri kullanılarak eleman sayısı hesaplama.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kümelerde Kesişim ve Birleşim İşlemleri

Bu konudan daha fazla soru