Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKümelerde Kesişim ve Birleşim İşlemleri

Bir sanat müzesini ziyaret eden 48 kişilik bir gruptaki ziyaretçilerin; Resim (RR), Fotoğraf (FF) ve Heykel (HH) sergilerini ziyaret etme durumlarıyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Her bir ziyaretçi bu üç sergiden en az birini ziyaret etmiştir.
* Resim sergisini ziyaret edenlerin tamamı Fotoğraf sergisini de ziyaret etmiştir.
* Heykel sergisini ziyaret edenler, Resim sergisini ziyaret etmemiştir.
* Resim sergisini ziyaret edenlerin sayısı, Heykel sergisini ziyaret edenlerin sayısının yarısıdır.
* Sadece Fotoğraf sergisini ziyaret edenlerin sayısı, sadece Heykel sergisini ziyaret edenlerin sayısının 2 katıdır.
* Fotoğraf ve Heykel sergilerinin her ikisini de ziyaret edenlerin sayısı, Resim sergisini ziyaret edenlerin sayısından 4 eksiktir.

Buna göre, bu grupta Fotoğraf sergisini ziyaret eden toplam kaç kişi vardır?

Cevap: 36

Cevap

Fotoğraf sergisini ziyaret eden toplam 36 kişi vardır.
Gruptaki tüm ilişkiler Venn şeması üzerinde modellendiğinde a+b+c+d=48a + b + c + d = 48 denklemi elde edilir. Verilen oranlar (a=(c+d)/2a = (c+d)/2, b=2db = 2d, c=a−4c = a-4) yerine yazıldığında 5a+8=485a + 8 = 48 eşitliğinden a=8a=8 bulunur. Buradan Fotoğraf sergisini ziyaret edenlerin toplam sayısı ∣F∣=a+b+c=8+24+4=36|F| = a + b + c = 8 + 24 + 4 = 36 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kümeler arasındaki alt küme ve kesişim ilişkilerini belirleyip Venn şeması bölgelerini harflendirin.
Bölgeler: ∣R∣=a|R| = a, sadece Fotoğraf = bb, Fotoğraf ve Heykel = cc, sadece Heykel = dd. Toplam: a+b+c+d=48a + b + c + d = 48.
Sözel verileri matematiksel olarak gruplandırmak için.
2
Verilen sözel koşulları bu harfli ifadelerle denklemlere dönüştürün.
2a=c+d2a = c + d, b=2db = 2d ve c=a−4c = a - 4.
Bilinmeyenler arasındaki ilişkileri kurarak denklem sistemini çözülebilir hale getirmek için.
3
Denklem sistemini çözerek her bir bölgenin eleman sayısını hesaplayın.
a=8a = 8, b=24b = 24, c=4c = 4, d=12d = 12.
İstenen kümenin eleman sayısını oluşturan bileşenleri netleştirmek için.
4
Fotoğraf sergisini ziyaret edenlerin toplam sayısını (∣F∣=a+b+c|F| = a + b + c) bulun.
8+24+4=368 + 24 + 4 = 36.
Soru kökünde Fotoğraf sergisini ziyaret eden toplam kişi sayısı istendiği için.

Anahtar Kavram

Kümelerde alt küme, kesişim ve birleşim işlemlerini kullanarak sözel problemleri denklem sistemine dönüştürme ve çözme.
Bu soruyu puanla

Konular

Kümelerde Kesişim ve Birleşim İşlemleri

Bu konudan daha fazla soru