Examkin

Soru

Zorluk: OrtaHız ve Hareket Problemleri

Bir kargo firması, AA ve BB noktaları arasında paket taşımak için sabit hızla uçan bir insansız hava aracı (drone) kullanmaktadır. Rüzgarsız bir günde drone, AA'dan BB'ye gidip hiç durmadan geri dönerek bu seferi toplam 40 dakikada40\text{ dakikada} tamamlamaktadır. Rüzgarlı bir günde, rüzgar AA'dan BB'ye doğru saatte 20 km20\text{ km} sabit hızla eserken drone, aynı seferi (gidiş ve dönüş) toplam 45 dakikada45\text{ dakikada} tamamlamıştır. Buna göre, dronun rüzgarsız havadaki kendi hızı saatte kaç km\text{km}'dir?

Cevap: 60 km/sa

Cevap

Dronun rüzgarsız havadaki hızı saatte 60 km60\text{ km}'dir.
Dronun rüzgarsız havadaki hızı vv ve yola dd denirse, rüzgarsız havada gidiş-dönüş toplam 40 dakika=23 saat40\text{ dakika} = \frac{2}{3}\text{ saat} sürer. Buradan 2dv=23⇒d=v3\frac{2d}{v} = \frac{2}{3} \Rightarrow d = \frac{v}{3} bulunur. Rüzgarlı havada ise gidiş süresi dv+20\frac{d}{v+20} ve dönüş süresi dv−20\frac{d}{v-20} olup toplam süre 45 dakika=34 saat45\text{ dakika} = \frac{3}{4}\text{ saat} değerine eşittir. Denklemde dd yerine v3\frac{v}{3} yazıldığında v3(v+20)+v3(v−20)=34⇒vv+20+vv−20=94\frac{v}{3(v+20)} + \frac{v}{3(v-20)} = \frac{3}{4} \Rightarrow \frac{v}{v+20} + \frac{v}{v-20} = \frac{9}{4} elde edilir. Payda eşitlemesiyle 2v2v2−400=94⇒8v2=9v2−3600⇒v2=3600⇒v=60 km/sa\frac{2v^2}{v^2 - 400} = \frac{9}{4} \Rightarrow 8v^2 = 9v^2 - 3600 \Rightarrow v^2 = 3600 \Rightarrow v = 60\text{ km/sa} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Rüzgarsız havadaki hareket denkleminin kurulması ve yolun hız cinsinden ifadesi
d=v3d = \frac{v}{3}
Gidiş ve dönüş sürelerinin toplamı olan 40 dakikayı40\text{ dakikayı} saate çevirip yol ile hız arasındaki oranı bulmak için.
2
Rüzgarlı havadaki hareket denkleminin kurulması
dv+20+dv−20=34\frac{d}{v+20} + \frac{d}{v-20} = \frac{3}{4}
Rüzgarın gidişte dronun hızını artırdığını, dönüşte ise azalttığını hesaba katarak toplam süreyi saat cinsinden eşitlemek için.
3
Elde edilen denklemlerin birleştirilerek dronun hızının çözülmesi
v=60v = 60
d=v3d = \frac{v}{3} bağıntısını rüzgarlı gün denklemine yazıp payda eşitleyerek 8v2=9v2−36008v^2 = 9v^2 - 3600 eşitliğine ula��mak ve pozitif kökü bulmak için.

Anahtar Kavram

Akıntı veya rüzgar etkisi altında yön değişimine bağlı hız problemleri

Alternatif Yöntem

Rüzgarlı havadaki gidiş süresi t1t_1 ve dönüş süresi t2t_2 olsun. Yol aynı olduğundan (v+20)t1=(v−20)t2(v+20)t_1 = (v-20)t_2 yazılabilir. Buradan sürelerin oranı t1t2=v−20v+20\frac{t_1}{t_2} = \frac{v-20}{v+20} olur. Toplam süre t1+t2=45 dakikat_1 + t_2 = 45\text{ dakika} olduğundan ve rüzgarsız havada tek yön gidiş süresi olan 20 dakika20\text{ dakika} referans alınarak oranlama yöntemiyle de v=60v = 60 değerine ulaşılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Hız ve Hareket Problemleri

Bu konudan daha fazla soru