Examkin

Soru

Zorluk: ZorAçık Önermeler ve Niceleyiciler

Gerçek sayılar k��mesi üzerinde R\mathbb{R} ve tam sayılar kümesi üzerinde Z\mathbb{Z} sembolleri kullanılarak aşağıdaki önermeler tanımlanıyor:

p:"∀x∈R, ∃y∈R, x−y2=3"p: "\forall x \in \mathbb{R}, \ \exists y \in \mathbb{R}, \ x - y^2 = 3"
q:"∃x∈Z, ∀y∈Z, x⋅y=x"q: "\exists x \in \mathbb{Z}, \ \forall y \in \mathbb{Z}, \ x \cdot y = x"
r:"∀x∈R, ∃y∈Z, y<x<y+1"r: "\forall x \in \mathbb{R}, \ \exists y \in \mathbb{Z}, \ y < x < y+1"

Buna göre; pp, qq ve rr önermelerinden hangilerinin doğruluk değeri 1'dir?

  1. A
    Yalnız pp
  2. Yalnız qqCevap
  3. C
    Yalnız rr
  4. D
    pp ve qq
  5. E
    qq ve rr

Cevap

Doğruluk değeri 1 olan tek önerme qq önermesidir. Bu nedenle doğru cevap yalnız qq ifadesini içeren seçenektir.
Doğruluk değeri 1 olan tek önerme qq önermesidir. x=0x = 0 tam sayısı seçildiğinde, her yy tam sayısı için 0⋅y=00 \cdot y = 0 eşitliği her zaman sağlanır.

Adım Adım Çözüm

1
pp önermesinin doğruluk değerini belirlemek için her xx gerçek sayısı için x−y2=3x - y^2 = 3 denklemini sağlayan bir yy gerçek sayısının var olup olmadığını inceleyelim.
x<3x < 3 (örneğin x=2x = 2) için y2=−1y^2 = -1 olur. Karesi negatif olan bir gerçek sayı olmadığından bu eşitliği sağlayan bir y∈Ry \in \mathbb{R} bulunamaz. Dolayısıyla pp önermesinin doğruluk değeri 0'dır (p≡0p \equiv 0).
Evrensel niceleyicinin (\forall) sağlandığını göstermek için tüm elemanların koşula uyması gerekir, uymayan tek bir karşıt örnek önermeyi yanlış yapar.
2
qq önermesinin doğruluk değerini belirlemek için x⋅y=xx \cdot y = x eşitliğini her yy tam sayısı için sağlayan en az bir xx tam sayısının var olup olmadığını inceleyelim.
x=0x = 0 tam sayısı seçildiğinde, her y∈Zy \in \mathbb{Z} için 0⋅y=00 \cdot y = 0 olur. Bu sonuç seçilen xx değerine (00'a) eşit olduğu için eşitlik her zaman sağlanır. Dolayısıyla qq önermesinin doğruluk değeri 1'dir (q≡1q \equiv 1).
Varoluşsal niceleyici (\exists) için koşulu sağlayan en az bir elemanın bulunması önermenin doğru olması için yeterlidir.
3
rr önermesinin doğruluk değerini belirlemek için her xx gerçek sayısı için y<x<y+1y < x < y+1 koşulunu sağlayan bir yy tam sayısının bulunup bulunamayacağını inceleyelim.
xx bir tam sayı (örneğin x=1x = 1) seçildiğinde, y<1<y+1y < 1 < y+1 eşitsizliğini sağlayan bir yy tam sayısı bulunamaz. Çünkü y<1y < 1 ise y≤0y \le 0 olmalıdır; bu durumda y+1≤1y+1 \le 1 olur ve 1<y+11 < y+1 ifadesi çelişki yaratır. Dolayısıyla rr önermesinin doğruluk değeri 0'dır (r≡0r \equiv 0).
Herhangi bir tam sayının iki ardışık tam sayı arasında yer alması mantıksal olarak imkansızdır.

Anahtar Kavram

Açık Önermeler ve Niceleyiciler
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Açık Önermeler ve Niceleyiciler

Bu konudan daha fazla soru