Examkin

Soru

Zorluk: OrtaFaktöriyel Kavramı

Pozitif bir nn tam sayısı için, n!n! sayısının sondan kaç basamağının sıfır olduğunu gösteren değer S(n)S(n) ile ifade edilmektedir.

Buna göre,
S(a)+S(b)=9S(a) + S(b) = 9
eşitliğini sağlayan aa ve bb pozitif tam sayıları için a+ba + b toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevap: 40

Cevap

40
Doğru cevap 40'tır. S(a) + S(b) = 9 eşitliğini sağlayan durumlar incelendiğinde, (S(a), S(b)) ikilisi için (1, 8), (2, 7) veya (3, 6) değerleri seçildiğinde en küçük a + b toplamı 40 olarak elde edilir. S(b) = 5 durumunu sağlayan bir b pozitif tam sayısı olmadığı için (4, 5) ikilisi kullanılamaz.

Adım Adım Çözüm

1
Faktöriyel sayılarının sonundaki sıfır sayısını bulma yöntemini belirleme.
S(n)S(n) fonksiyonu, nn sayısının sürekli 5'e bölünmesiyle elde edilen b��lümlerin toplamı olarak hesaplanır.
n!n! sayısının sonundaki sıfır sayısı, n!n! içindeki 5 asal çarpanının sayısına eşittir.
2
S(n)S(n) fonksiyonunun farklı aralıklardaki en küçük nn değerlerini listeleme.
S(n)=0→nmin=1S(n) = 0 \rightarrow n_{min} = 1, S(n)=1→nmin=5S(n) = 1 \rightarrow n_{min} = 5, S(n)=2→nmin=10S(n) = 2 \rightarrow n_{min} = 10, S(n)=3→nmin=15S(n) = 3 \rightarrow n_{min} = 15, S(n)=4→nmin=20S(n) = 4 \rightarrow n_{min} = 20, S(n)=6→nmin=25S(n) = 6 \rightarrow n_{min} = 25, S(n)=7→nmin=30S(n) = 7 \rightarrow n_{min} = 30, S(n)=8→nmin=35S(n) = 8 \rightarrow n_{min} = 35, S(n)=9→nmin=40S(n) = 9 \rightarrow n_{min} = 40 elde edilir.
Toplamın en küçük olabilmesi için S(a)S(a) ve S(b)S(b) değerlerini veren en küçük aa ve bb pozitif tam sayılarını kullanmamız gerekir.
3
S(a)+S(b)=9S(a) + S(b) = 9 eşitliğini sağlayan olası durumları inceleme.
S(a)=0,S(b)=9→a+b≥1+40=41S(a) = 0, S(b) = 9 \rightarrow a+b \ge 1+40 = 41; S(a)=1,S(b)=8→a+b≥5+35=40S(a) = 1, S(b) = 8 \rightarrow a+b \ge 5+35 = 40; S(a)=2,S(b)=7→a+b≥10+30=40S(a) = 2, S(b) = 7 \rightarrow a+b \ge 10+30 = 40; S(a)=3,S(b)=6→a+b≥15+25=40S(a) = 3, S(b) = 6 \rightarrow a+b \ge 15+25 = 40. S(a)=4,S(b)=5S(a)=4, S(b)=5 durumu ise S(b)=5S(b)=5 olamayacağı için geçersizdir.
Tüm durumları tek tek analiz ederek a+ba+b toplamının alabileceği en küçük değeri bulmak.
4
Bulunan en küçük değeri sonuç olarak belirleme.
En küçük a+ba+b toplamı 40'tır.
Olası tüm durumlar arasında elde edilen en küçük toplam 40'tır.

Anahtar Kavram

Faktöriyel sayılarının sonundaki sıfır sayısı ve asal çarpan analizi
Bu soruyu puanla

Konular

Faktöriyel Kavramı

Bu konudan daha fazla soru