Examkin

Soru

Zorluk: OrtaPolinom Tanımı ve Temel Özellikleri
P(x)=xn+15n+1−5x6−n+2x2−3P(x) = x^{\frac{n+15}{n+1}} - 5x^{6-n} + 2x^2 - 3

ifadesi bir polinom belirttiğine göre, nn tam sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    -21
  2. -8Cevap
  3. C
    5
  4. D
    7
  5. E
    20

Cevap

n tam sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı -8'dir.
Doğru yanıt olan -8 değeri, polinom tanımına göre üslerin doğal sayı olması koşulunu sağlayan tüm n tam sayılarının (0, 1, 6 ve -15) toplamıdır. Bu değerler hem 6 - n >= 0 eşitsizliğini sağlar hem de (n + 15) / (n + 1) ifadesini negatif olmayan bir tam sayıya dönüştürür.

Adım Adım Çözüm

1
Polinom tanımından yararlanarak değişkenlerin üsleri için geçerli koşulları belirleme.
İfadenin bir polinom belirtmesi için x'in tüm üsleri doğal sayı olmalıdır. Buradan, (n + 15) / (n + 1) >= 0 ve 6 - n >= 0 koşulları elde edilir. İkinci eşitsizlikten n <= 6 sonucuna ulaşılır.
Polinom tanımı gereği değişkenlerin üsleri negatif ya da rasyonel olamaz, mutlaka doğal sayı olmalıdır.
2
Rasyonel üs ifadesini tam ve kesirli kısımlarına ayırma.
(n + 15) / (n + 1) = (n + 1 + 14) / (n + 1) = 1 + 14 / (n + 1) şeklinde yazılır.
Rasyonel ifadeyi tam sayılı kesre dönüştürmek, n + 1 ifadesinin alabileceği tam sayı bölenlerini daha kolay belirlemeyi sağlar.
3
n + 1 ifadesinin bölenlerini ve buna bağlı n değerlerini inceleme.
1 + 14 / (n + 1) ifadesinin bir tam sayı olması için n + 1 sayısı 14'ün tam sayı bölenleri olan 1, 2, 7, 14, -1, -2, -7, -14 değerlerini alabilir. Buradan n değerleri sırasıyla 0, 1, 6, 13, -2, -3, -8, -15 olarak bulunur.
n bir tam sayı olduğu için n + 1 de 14'ü tam bölen bir tam sayı olmak zorundadır.
4
Bulunan n değerlerinin her iki üssü de doğal sayı yapma durumunu kontrol etme.
- n = 0 için: üsler 15 ve 6 (geçerli)
- n = 1 için: üsler 8 ve 5 (geçerli)
- n = 6 için: üsler 3 ve 0 (geçerli)
- n = 13 için: 6 - n = -7 < 0 (geçersiz)
- n = -2 için: 1 + 14/(-1) = -13 < 0 (geçersiz)
- n = -3 için: 1 + 14/(-2) = -6 < 0 (geçersiz)
- n = -8 için: 1 + 14/(-7) = -1 < 0 (geçersiz)
- n = -15 için: üsler 0 ve 21 (geçerli)
n <= 6 sınır koşulunun ve rasyonel ifadeden elde edilen üssün negatif olmama koşulunun her bir n değeri için ayrı ayrı test edilmesi gerekir.
5
Geçerli n değerlerini toplama.
Geçerli n değerleri: 0, 1, 6 ve -15 olup toplamları: 0 + 1 + 6 + (-15) = -8 bulunur.
Soruda istenen, n'nin alabileceği tüm farklı tam sayı değerlerinin toplamıdır.

Anahtar Kavram

Polinomlarda değişkenlerin üsleri doğal sayı olmak zorundadır. Rasyonel üs içeren ifadelerde bölme işlemi yapılıp sınırlar doğru belirlenmelidir.
Bu soruyu puanla

Konular

Polinom Tanımı ve Temel Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru