Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÖnermeler ve Bağlaçlar
Rakamları sıfırdan ve birbirinden farklı üç basamaklı bir ABCABC doğal sayısı için,
p:Sayı tektir.q:A+B toplamı c¸ifttir.r:B⋅C c¸arpımı tektir.\begin{aligned} p&: \text{Sayı tektir.}\\ q&: A + B \text{ toplamı çifttir.}\\ r&: B \cdot C \text{ çarpımı tektir.} \end{aligned}
önermeleri veriliyor.

(p∧q)⇒r(p \wedge q) \Rightarrow r önermesi yanlış olduğuna göre, bu koşulları sağlayan en küçük ABCABC doğal sayısı için A+B+CA + B + C toplamı kaçtır?

  1. A
    5
  2. B
    6
  3. 7Cevap
  4. D
    9
  5. E
    12

Cevap

Koşulları sağlayan en küçük ABC sayısı 241 olup rakamlarının toplamı 7'dir.
Verilen (p∧q)⇒r(p \wedge q) \Rightarrow r önermesinin yanlış olması, p≡1p \equiv 1, q≡1q \equiv 1 ve r≡0r \equiv 0 olmasını gerektirir. Bu doğruluk değerleri incelendiğinde CC'nin tek rakam, AA ve BB'nin ise çift rakamlar olduğu belirlenir. Rakamları sıfırdan ve birbirinden farklı en küçük ABCABC sayısı yüzler basamağı en küçük seçilerek 241241 olarak oluşturulur. Bu sayının rakamları toplamı ise 7 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşik önermenin doğruluk değerlerini belirleme
p≡1p \equiv 1, q≡1q \equiv 1 ve r≡0r \equiv 0
İse (⇒\Rightarrow) bağlacıyla kurulan bir koşullu önermenin yanlış (0) olabilmesi için ön bileşenin doğru (1), art bileşenin ise yanlış (0) olması gerekir. Buradan p∧q≡1p \wedge q \equiv 1 ve r≡0r \equiv 0 bulunur. Ve (∧\wedge) bağlacının özelliğinden p≡1p \equiv 1 ve q≡1q \equiv 1 elde edilir.
2
Doğruluk değerlerine göre rakamların teklik/çiftlik durumlarını belirleme
CC tek rakam, AA ve BB ise çift rakamlardır.
p≡1p \equiv 1 olduğuna göre ABCABC sayısı tektir. Bu durumda birler basamağındaki CC rakamı tek olmalıdır. r≡0r \equiv 0 olduğuna göre B⋅CB \cdot C çarpımı çifttir. CC tek sayı olduğuna göre çarpımın çift olması için BB çift rakam olmalıdır. q≡1q \equiv 1 olduğuna göre A+BA + B toplamı çifttir. BB çift rakam olduğuna göre toplamın çift olması için AA da çift rakam olmalıdır.
3
En küçük ABCABC sayısını oluşturup rakamları toplamını hesaplama
ABC=241ABC = 241 ve rakamlar toplamı 2+4+1=72 + 4 + 1 = 7
Rakamları sıfırdan ve birbirinden farklı en küçük üç basamaklı ABCABC sayısı için: Yüzler basamağındaki AA en küçük pozitif çift rakam olan 22, onlar basamağındaki BB ise AA'dan farklı en küçük pozitif çift rakam olan 44 seçilir. Birler basamağındaki CC ise en küçük tek rakam olan 11 seçilir. Böylece en küçük sayı 241241 olur. Bu sayının rakamları toplamı da 2+4+1=72 + 4 + 1 = 7 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

İse bağlacının doğruluk tablosu ve sayıların teklik-çiftlik özellikleri ile ilişkilendirilmesi
Tahmini Süre:1m 50s
Bu soruyu puanla

Konular

Önermeler ve Bağlaçlar

Bu konudan daha fazla soru