Examkin

Soru

Zorluk: ZorPolinom Tanımı ve Temel Özellikleri
P(x)=(m2−9)xm+7m−1+2xm−2+(m−3)x5−mP(x) = (m^2 - 9)x^{\frac{m+7}{m-1}} + 2x^{m-2} + (m-3)x^{5-m}

ifadesi bir gerçek katsayılı polinom belirttiğine göre, mm parametresinin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    5
  2. B
    7
  3. 10Cevap
  4. D
    16
  5. E
    19

Cevap

m parametresinin alabileceği farklı değerlerin toplamı 10'dur.
İfadenin bir polinom belirtmesi için katsayısı sıfırdan farklı olan tüm terimlerin dereceleri doğal sayı olmalıdır. 2xm−22x^{m-2} terimi için m≥2m \ge 2 olmalıdır. (m−3)x5−m(m-3)x^{5-m} terimi için m≤5m \le 5 olmalıdır. Buradan mm tam sayısı 2,3,4,52, 3, 4, 5 değerlerini alabilir. Bu değerlerden m=3m=3 birinci terimin katsayısını sıfır yaparak polinom şartını sağlar. m=2m=2 ve m=5m=5 değerleri ise birinci terimin üssünü sırasıyla 99 ve 33 doğal sayıları yapar ve polinom şartını sağlar. Ancak m=4m=4 değeri birinci terimin üssünü 113\frac{11}{3} yaptığı için polinom belirtmez. Dolayısıyla mm parametresinin alabileceği değerlerin toplamı 2+3+5=102+3+5=10 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Polinom olma şartlarını belirleme
Bir ifadenin polinom belirtmesi için değişkenin tüm terimlerdeki üslerinin birer doğal sayı olması gerekir. Eğer bir terimin katsayısı sıfır ise, o terim yok olacağı için üssün doğal sayı olma zorunluluğu ortadan kalkar.
Polinom tanımının temel kuralını uygulamak için.
2
İkinci terimin üssünü inceleme
2xm−22x^{m-2} teriminin katsayısı 2≠02 \neq 0 olduğundan, üs olan m−2m-2 ifadesi bir doğal sayı olmalıdır. Buradan m−2≥0⇒m≥2m-2 \ge 0 \Rightarrow m \ge 2 ve mm bir tam sayı olmalıdır.
Katsayısı sıfırdan farklı olan terimin üssünün doğal sayı olması zorunluluğundan dolayı.
3
Üçüncü terimin üssünü ve katsayısını inceleme
(m−3)x5−m(m-3)x^{5-m} teriminin polinom belirtmesi için ya üssü doğal sayı olmalıdır (5−m≥0⇒m≤55-m \ge 0 \Rightarrow m \le 5) ya da katsayısı sıfır olmalıdır (m−3=0⇒m=3m-3 = 0 \Rightarrow m = 3). Her iki durumda da m≤5m \le 5 koşulu sağlanır. Adım 2 ile birleştirildiğinde mm tam sayısı 2≤m≤52 \le m \le 5 aralığında olmalıdır. Yani m∈{2,3,4,5}m \in \{2, 3, 4, 5\} olabilir.
Değişkenin üssünün negatif olmaması veya terimin katsayısının sıfır olup terimi yok etmesi durumunu incelemek için.
4
Birinci terimin polinom olma durumunu inceleme
(m2−9)xm+7m−1(m^2 - 9)x^{\frac{m+7}{m-1}} teriminin polinom belirtmesi için ya katsayısı sıfır olmalı (m2−9=0⇒m=±3m^2-9=0 \Rightarrow m=\pm 3) ya da üssü olan m+7m−1\frac{m+7}{m-1} bir doğal sayı olmalıdır. m≥2m \ge 2 olduğundan m=−3m=-3 olamaz. m=3m=3 ise katsayı sıfır olur ve terim polinom olma şartını sağlar. Diğer m∈{2,4,5}m \in \{2, 4, 5\} değerlerini üs ifadesinde yerine koyalım:
- m=2m=2 için 2+72−1=9\frac{2+7}{2-1} = 9 (doğal sayıdır, sağlar)
- m=4m=4 için 4+74−1=113\frac{4+7}{4-1} = \frac{11}{3} (doğal sayı değildir, sağlamaz)
- m=5m=5 için 5+75−1=3\frac{5+7}{5-1} = 3 (doğal sayıdır, sağlar)
Birinci terimin rasyonel üssünün tam sayı olma durumunu ve katsayının sıfır olma durumunu kontrol etmek için.
5
Bulunan değerleri toplama
mm değerleri 2,32, 3 ve 55 olup toplamları 2+3+5=102 + 3 + 5 = 10 olur.
Soruda istenen toplam değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Polinom tanımı gereğince terimlerin derecelerinin doğal sayı olması ve katsayının sıfır olması durumunda üs sınırlandırmasının ortadan kalkması.
Bu soruyu puanla

Konular

Polinom Tanımı ve Temel Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru