Examkin

Soru

Zorluk: OrtaMutlak Değerli Eşitsizlikler
∣x−3∣+∣6−2x∣≤12|x - 3| + |6 - 2x| \le 12

eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının adedi kaçtır?

Cevap: 9

Cevap

Eşitsizliği sağlayan 9 farklı x tam sayısı vardır.
Verilen mutlak değerli eşitsizlik öncelikle ∣a−b∣=∣b−a∣|a - b| = |b - a| ve ∣k⋅y∣=∣k∣⋅∣y∣|k \cdot y| = |k| \cdot |y| özellikleri kullanılarak sadeleştirilir. Buradan 3∣x−3∣≤123|x - 3| \le 12 yani ∣x−3∣≤4|x - 3| \le 4 elde edilir. Bu eşitsizlik açıldığında −4≤x−3≤4-4 \le x - 3 \le 4 ve buradan −1≤x≤7-1 \le x \le 7 bulunur. Bu aralıkta bulunan tam sayılar {−1,0,1,2,3,4,5,6,7}\{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} olmak üzere toplamda 9 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1
∣6−2x∣|6 - 2x| ifadesini mutlak değer dışına çarpan parantezine alarak yazın.
∣6−2x∣=2∣3−x∣=2∣x−3∣|6 - 2x| = 2|3 - x| = 2|x - 3| elde edilir.
Mutlak değer içinde ortak çarpan parantezine alma ve ∣a∣=∣−a∣|a| = |-a| özelliğini kullanmak için.
2
Eşitsizlikteki benzer terimleri toplayarak sadeleştirin.
∣x−3∣+2∣x−3∣≤12  ⟹  3∣x−3∣≤12|x - 3| + 2|x - 3| \le 12 \implies 3|x - 3| \le 12 elde edilir.
Eşitsizliği daha basit bir mutlak değerli eşitsizlik formuna getirmek için.
3
Her iki tarafı 3'e bölerek mutlak değerli ifadeyi yalnız bırakın.
∣x−3∣≤4|x - 3| \le 4 elde edilir.
Mutlak değerli eşitsizliği standart çözme yöntemine hazırlamak için.
4
∣x−a∣≤b|x - a| \le b biçimindeki eşitsizliği −b≤x−a≤b-b \le x - a \le b kuralına göre açın.
−4≤x−3≤4  ⟹  −1≤x≤7-4 \le x - 3 \le 4 \implies -1 \le x \le 7 elde edilir.
Mutlak değer eşitsizliğinin çözüm kümesini gerçel sayılarda bulmak için.
5
−1≤x≤7-1 \le x \le 7 aralığındaki tam sayı değerlerini belirleyip sayın.
{−1,0,1,2,3,4,5,6,7}\{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} kümesinden 9 tane tam sayı elde edilir.
Soru kökünde istenen tam sayı adedine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli eşitsizliklerin özellikleri ve çözüm yöntemleri
Bu soruyu puanla

Konular

Mutlak Değerli Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru