Examkin

Soru

Zorluk: ZorÇarpanlara Ayırma ve Özdeşlikler

Aşağıda sol sütunda verilen matematiksel koşulları, sağ sütunda bu koşulları sağlayan ifadelerin/değerlerin en sade veya sayısal karşılıklarıyla eşleştiriniz.

  • x>1x > 1 ve x2+1x2=7x^2 + \frac{1}{x^2} = 7 olmak üzere, x3−1x3x^3 - \frac{1}{x^3} ifadesinin değeri858\sqrt{5}
  • mm sıfırdan farklı bir gerçel sayı ve m−2m=3m - \frac{2}{m} = 3 olmak üzere, m2+4m2m^2 + \frac{4}{m^2} ifadesinin değeri1313
  • aa ve bb gerçel sayıları için a2+b2−6a+8b+25=0a^2 + b^2 - 6a + 8b + 25 = 0 olmak üzere, a⋅ba \cdot b çarpımının değeri−12-12

Cevap

Birinci koşul sekiz kök beş değeriyle, ikinci koşul on üç değeriyle, üçüncü koşul ise eksi on iki değeriyle eşleşir.
Sol sütundaki cebirsel ifadeler çarpanlara ayırma ve tam kareye tamamlama kuralları kullanılarak çözüldüğünde elde edilen değerler sırasıyla sekiz kök beş, on üç ve eksi on iki sayısal değerleriyle tam olarak eşleşmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci koşulda verilen x2+1x2=7x^2 + \frac{1}{x^2} = 7 ifadesinden yararlanarak x−1xx - \frac{1}{x} değeri bulunur.
x−1x=5x - \frac{1}{x} = \sqrt{5}
(x−1x)2=x2+1x2−2=7−2=5(x - \frac{1}{x})^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} - 2 = 7 - 2 = 5 olup x>1x > 1 için x−1xx - \frac{1}{x} pozitif olmalıdır.
2
İki küp farkı özdeşliği yardımıyla istenen x3−1x3x^3 - \frac{1}{x^3} ifadesi açılır ve bilinen değerler yerine konur.
x3−1x3=85x^3 - \frac{1}{x^3} = 8\sqrt{5}
x3−1x3=(x−1x)(x2+1+1x2)x^3 - \frac{1}{x^3} = (x - \frac{1}{x})(x^2 + 1 + \frac{1}{x^2}) ��zdeşliğinde değerler yerine yazıldığında 5⋅(7+1)=85\sqrt{5} \cdot (7 + 1) = 8\sqrt{5} elde edilir.
3
İkinci koşulda m−2m=3m - \frac{2}{m} = 3 eşitliğinin her iki tarafının karesi alınarak istenen ifadeye ulaşılır.
m2+4m2=13m^2 + \frac{4}{m^2} = 13
(m−2m)2=m2−4+4m2=9(m - \frac{2}{m})^2 = m^2 - 4 + \frac{4}{m^2} = 9 eşitliğinden −4-4 karşıya atılarak m2+4m2=13m^2 + \frac{4}{m^2} = 13 bulunur.
4
Üçüncü koşulda verilen denklem tam kare ifadelere ayrıştırılır.
(a−3)2+(b+4)2=0(a - 3)^2 + (b + 4)^2 = 0
a2−6aa^2 - 6a ifadesini tam kare yapmak için 99, b2+8bb^2 + 8b ifadesini tam kare yapmak için 1616 eklenir. Sabit terim 25=9+1625 = 9 + 16 olduğundan ifade tam karelerin toplamı şeklinde yazılır.
5
Elde edilen tam kare ifadelerin toplamı sıfır olduğundan her bir terim sıfıra eşitlenerek aa ve bb değerleri çarpılır.
a⋅b=−12a \cdot b = -12
a−3=0⇒a=3a - 3 = 0 \Rightarrow a = 3 ve b+4=0⇒b=−4b + 4 = 0 \Rightarrow b = -4 olup çarpımları 3⋅(−4)=−123 \cdot (-4) = -12 olur.

Anahtar Kavram

Tam kare açılımı, iki küp farkı özdeşliği ve iki değişkenli ifadelerde tam kareye tamamlama yöntemlerinin uygulanması.

Alternatif Yöntem

Birinci ifadedeki x3−1/x3x^3 - 1/x^3 değeri hesaplanırken iki küp farkı açılımı yerine doğrudan (x−1/x)3+3(x−1/x)(x - 1/x)^3 + 3(x - 1/x) özdeşliği kullanılarak da çözüme ulaşılabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Çarpanlara Ayırma ve Özdeşlikler

Bu konudan daha fazla soru