Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorMutlak Değer Kavramı ve Özellikleri

Her xx ve yy gerçel sayısı için ∣x−y∣<∣1−xy∣|x - y| < |1 - xy| eşitsizliğinin sağlanması için gerek ve yeter koşul (∣x∣−1)(∣y∣−1)>0(|x| - 1)(|y| - 1) > 0 olmasıdır. Bu ifade doğru mudur?

Cevap: Cevap

Cevap

Verilen ifade doğrudur.
Verilen ∣x−y∣<∣1−xy∣|x - y| < |1 - xy| eşitsizliğinin her iki tarafının karesi alınıp çarpanlara ayrıldığında (∣x∣−1)(∣y∣−1)>0(|x| - 1)(|y| - 1) > 0 elde edilir. Mutlak değerin ∣t∣2=t2|t|^2 = t^2 özelliği ve ∣t∣+1>0|t| + 1 > 0 gerçeği kullanılarak gerek ve yeter koşulun tam olarak bu olduğu ispatlanır. Dolayısıyla ifade doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitsizliğin her iki tarafının da karesi alınarak mutlak değer işaretlerinden kurtulunur.
∣x−y∣2<∣1−xy∣2⇒(x−y)2<(1−xy)2|x - y|^2 < |1 - xy|^2 \Rightarrow (x - y)^2 < (1 - xy)^2
Mutlak değerli ifadelerin kareleri, kendilerinin karelerine eşittir (yani ∣a∣2=a2|a|^2 = a^2).
2
Kareleri al��nan ifadeler açılarak eşitsizliğin tüm terimleri bir tarafta toplanır.
x2−2xy+y2<1−2xy+x2y2⇒x2+y2<1+x2y2⇒x2y2−x2−y2+1>0x^2 - 2xy + y^2 < 1 - 2xy + x^2y^2 \Rightarrow x^2 + y^2 < 1 + x^2y^2 \Rightarrow x^2y^2 - x^2 - y^2 + 1 > 0
Eşitsizliğin her iki tarafındaki −2xy-2xy terimleri sadeleştirilir ve tüm terimler sağ tarafa aktarılır.
3
Elde edilen x2y2−x2−y2+1>0x^2y^2 - x^2 - y^2 + 1 > 0 ifadesi ortak çarpan parantezine alma yöntemiyle gruplandırılarak çarpanlarına ayrılır.
x2(y2−1)−(y2−1)>0⇒(x2−1)(y2−1)>0x^2(y^2 - 1) - (y^2 - 1) > 0 \Rightarrow (x^2 - 1)(y^2 - 1) > 0
Ortak çarpan parantezine alma yöntemi uygulanarak ifade daha sade bir çarpım durumuna getirilir.
4
Çarpanlar iki kare fark�� ve mutlak değer özellikleri kullanılarak analiz edilir ve sadeleştirilir.
(x2−1)=(∣x∣2−1)=(∣x∣−1)(∣x∣+1)(x^2 - 1) = (|x|^2 - 1) = (|x| - 1)(|x| + 1) ve (y2−1)=(∣y∣2−1)=(∣y∣−1)(∣y∣+1)(y^2 - 1) = (|y|^2 - 1) = (|y| - 1)(|y| + 1) yazılır. Buradan eşitsizlik (∣x∣−1)(∣x∣+1)(∣y∣−1)(∣y∣+1)>0(|x| - 1)(|x| + 1)(|y| - 1)(|y| + 1) > 0 haline gelir. Her gerçel sayı için ∣x∣+1>0|x| + 1 > 0 ve ∣y∣+1>0|y| + 1 > 0 olduğundan, bu terimler eşitsizliğin yönünü etkilemez ve sadeleştirilebilir. Sonuç olarak gerek ve yeter koşul (∣x∣−1)(∣y∣−1)>0(|x| - 1)(|y| - 1) > 0 olarak bulunur.
x2=∣x∣2x^2 = |x|^2 özdeşliği ve daima pozitif olan çarpanların eşitsizlikten elenmesi kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Mutlak değerin karesel özellikleri, iki kare farkı özdeşliği ve eşitsizliklerde işaret analizi.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Mutlak Değer Kavramı ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru