Examkin

Soru

Zorluk: ZorÇarpanlara Ayırma ve Özdeşlikler
xx ve yy gerçel sayıları için,
x2+xy+y2=6x^2 + xy + y^2 = 6
x4+x2y2+y4=24x^4 + x^2y^2 + y^4 = 24
olduğuna göre, x−yx - y farkının pozitif değeri kaçtır?
  1. A
    2\sqrt{2}
  2. 3\sqrt{3}Cevap
  3. C
    2
  4. D
    5\sqrt{5}
  5. E
    7\sqrt{7}

Cevap

3\sqrt{3}
İki kare farkı özdeşliği yardımıyla x2−xy+y2=4x^2 - xy + y^2 = 4 elde edilir. Bu eşitlik ile x2+xy+y2=6x^2 + xy + y^2 = 6 eşitliği taraf tarafa çıkarıldığında 2xy=2  ⟹  xy=12xy = 2 \implies xy = 1 bulunur. Taraf tarafa toplandığında ise 2(x2+y2)=10  ⟹  x2+y2=52(x^2 + y^2) = 10 \implies x^2 + y^2 = 5 bulunur. (x−y)2=x2+y2−2xy(x-y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy formülünde bulunan değerler yerine yazıldığında (x−y)2=5−2=3(x-y)^2 = 5 - 2 = 3 elde edilir. Buradan pozitif değer olan karekök 3 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Biquadratic (Sophie Germain) özdeşliği kullanarak x4+x2y2+y4x^4 + x^2y^2 + y^4 ifadesini çarpanlarına ayırın.
x4+x2y2+y4=(x2+xy+y2)(x2−xy+y2)x^4 + x^2y^2 + y^4 = (x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2)
İki kare farkı yardımıyla ifadenin çarpanlarını belirlemek amacıyla.
2
Verilen değerleri yerine koyarak x2−xy+y2x^2 - xy + y^2 ifadesinin değerini hesaplayın.
24=6⋅(x2−xy+y2)  ⟹  x2−xy+y2=424 = 6 \cdot (x^2 - xy + y^2) \implies x^2 - xy + y^2 = 4
Bilinmeyen çarpanın değerini bulmak için.
3
Elde edilen denklemleri ortak çözerek xyxy ve x2+y2x^2 + y^2 değerlerini bulun.
x2+xy+y2=6x^2 + xy + y^2 = 6 ve x2−xy+y2=4x^2 - xy + y^2 = 4 denklemlerinden xy=1xy = 1 ve x2+y2=5x^2 + y^2 = 5 elde edilir.
x−yx-y farkının karesini hesaplayabilmek için gerekli terimleri bulmak.
4
Tam kare farkı açılımı olan (x−y)2=x2+y2−2xy(x - y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy formülünde değerleri yerine yazarak pozitif farkı bulun.
(x−y)2=5−2(1)=3  ⟹  x−y=3(x - y)^2 = 5 - 2(1) = 3 \implies x - y = \sqrt{3}
Soruda istenen pozitif fark değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

İki kare farkı ve tam kare açılımlarının birlikte kullanımı
Bu soruyu puanla

Konular

Çarpanlara Ayırma ve Özdeşlikler

Bu konudan daha fazla soru