Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorPozitif ve Negatif Sayılar

Sıfırdan farklı aa, bb ve cc gerçel sayıları için a3⋅b2⋅c<0a^3 \cdot b^2 \cdot c < 0, a−b<ca - b < c ve b2⋅c−a2⋅c=0b^2 \cdot c - a^2 \cdot c = 0 koşulları sağlanmaktadır. Buna göre, c⋅(a−b)c \cdot (a - b) ifadesinin alabileceği en büyük değer işaretsiz (nötr) bir gerçel sayıdır.

Cevap: Cevap

Cevap

Önerme doğrudur. c⋅(a−b)c \cdot (a - b) ifadesinin alabileceği en büyük değer 00 olup, bu sayı işaretsizdir (nötrdür).
Koşulları sağlayan durumlarda c⋅(a−b)c \cdot (a - b) ifadesi en fazla 00 değerini alabilir ve sıfır sayısı işaretsiz (nötr) bir gerçel sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
b2⋅c−a2⋅c=0b^2 \cdot c - a^2 \cdot c = 0 eşitliğini analiz etmek.
c≠0c \neq 0 olduğundan her iki taraf cc ile bölünürse b2=a2b^2 = a^2 elde edilir. Buradan b=ab = a veya b=−ab = -a olur.
Değişkenler arasındaki eşitlik ilişkilerini belirlemek.
2
a3⋅b2⋅c<0a^3 \cdot b^2 \cdot c < 0 eşitsizliğini analiz etmek.
b≠0b \neq 0 olduğundan b2>0b^2 > 0 olur. Dolayısıyla a3⋅c<0a^3 \cdot c < 0 elde edilir, bu da aa ile cc sayılarının zıt işaretli olduğunu gösterir.
Değişkenlerin işaret durumlarını tespit etmek.
3
b=ab = a durumunu incelemek.
a−b<c  ⟹  a−a<c  ⟹  c>0a - b < c \implies a - a < c \implies c > 0 olur. aa ile cc zıt işaretli olduğundan a<0a < 0 ve dolayısıyla b<0b < 0 olur. Bu durumda c⋅(a−b)=c⋅0=0c \cdot (a - b) = c \cdot 0 = 0 elde edilir.
İlk olasılığa göre ifadenin değerini hesaplamak.
4
b=−ab = -a durumunu incelemek.
a−b<c  ⟹  a−(−a)<c  ⟹  2a<ca - b < c \implies a - (-a) < c \implies 2a < c olur. aa ve cc zıt işaretli olduğundan, eğer a>0a > 0 ve c<0c < 0 olsaydı 2a<c2a < c (pozitif < negatif) çelişkisi doğardı. Dolayısıyla a<0a < 0 ve c>0c > 0 olmalıdır. Bu durumda c⋅(a−b)=c⋅(2a)=2ac<0c \cdot (a - b) = c \cdot (2a) = 2ac < 0 elde edilir.
İkinci olasılığa göre ifadenin değerini hesaplamak.
5
Sonuçları birleştirerek ifadenin en büyük değerini ve işaretini bulmak.
c⋅(a−b)c \cdot (a - b) ifadesi 00 veya negatif değerler alabilir. Bu değerlerin en büyüğü 00 olup, 00 sayısı işaretsiz (nötr) bir sayıdır.
Önermenin doğruluk değerini belirlemek.

Anahtar Kavram

Pozitif ve negatif sayılarda işlemler, sıfırın nötr (işaretsiz) olma özelliği ve eşitsizlik analizi.
Bu soruyu puanla

Konular

Pozitif ve Negatif Sayılar

Bu konudan daha fazla soru