Examkin

Soru

Zorluk: OrtaMutlak Değer Kavramı ve Özellikleri

Sayı doğrusu üzerinde sıfırdan farklı aa, bb ve cc gerçel sayıları gösterilmiştir.

bb sayısı, aa ve cc sayılarının tam ortasında yer almaktadır.

aa sayısının başlangıç noktasına (sıfıra) olan uzaklığı, bb sayısının başlangıç noktasına olan uzaklığından büyüktür.

Buna göre,
∣a−b∣+∣b−c∣∣a+b∣+∣a+c∣\frac{|a - b| + |b - c|}{|a + b| + |a + c|}

ifadesinin değeri kaçtır?

  1. A
    -2
  2. B
    -1
  3. C
    0
  4. D
    1
  5. 2Cevap

Cevap

İfadenin değeri 2'dir.
Sayı doğrusundaki konumlara göre a<0<b<ca < 0 < b < c sıralaması mevcuttur. bb, aa ve cc'nin tam ortasında olduğundan ardışık noktalar arası uzaklık eşit olup b−a=c−b=d>0b-a = c-b = d > 0 diyebiliriz. Buradan a=b−da = b-d ve c=b+dc = b+d olur. ∣a∣>∣b∣|a| > |b| koşulundan −a>b  ⟹  d−b>b  ⟹  d>2b-a > b \implies d - b > b \implies d > 2b elde edilir. Bu durumda a−b<0a - b < 0, b−c<0b - c < 0, a+b=2b−d<0a + b = 2b - d < 0 (çünkü d>2bd > 2b) ve a+c=2b>0a + c = 2b > 0 olur. İfadeler mutlak değer dışına çıkarıldığında pay 2d2d, payda ise dd bulunur. Oranlandığında sonuç 22 çıkar.

Adım Adım Çözüm

1
Sayıların sayı doğrusundaki konumlarını ve aralarındaki uzaklık ilişkilerini belirleme.
Sayı doğrusunda soldan sağa doğru sıralama a<0<b<ca < 0 < b < c şeklindedir. bb sayısı aa ve cc sayılarının tam ortasında olduğundan, aa ile bb arasındaki uzaklık bb ile cc arasındaki uzaklığa eşittir. Bu uzaklığa dd (d>0d > 0) dersek; b−a=db - a = d ve c−b=dc - b = d olur. Buradan c−a=2dc - a = 2d elde edilir. Ayrıca a=b−da = b - d ve c=b+dc = b + d yazılabilir.
Mutlak değerli ifadelerin içindeki terimleri ortak bir değişken (dd) cinsinden yazarak sadeleştirme yapmak.
2
Sayıların sıfıra olan uzaklıklar�� (mutlak değerleri) arasındaki ilişkiyi kullanarak bb ve dd arasındaki eşitsizliği belirleme.
aa sayısının sıfıra olan uzaklığı ∣a∣|a|, bb sayısının sıfıra olan uzaklığı ∣b∣|b|'dir. Soruda ∣a∣>∣b∣|a| > |b| olduğu verilmiştir. a<0a < 0 olduğundan ∣a∣=−a|a| = -a ve b>0b > 0 olduğundan ∣b∣=b|b| = b olur. Dolayısıyla −a>b-a > b yazılır. a=b−da = b - d eşitliğini burada yerine yazarsak: −(b−d)>b  ⟹  d−b>b  ⟹  d>2b-(b - d) > b \implies d - b > b \implies d > 2b elde edilir.
a+ba+b ifadesinin işaretini kesin olarak belirleyebilmek için dd ile bb arasındaki ilişkiyi bulmak gerekir.
3
Mutlak değer içerisindeki her bir ifadenin işaretini belirleme.
- a<b  ⟹  a−b<0a < b \implies a - b < 0
- b<c  ⟹  b−c<0b < c \implies b - c < 0
- a+b=(b−d)+b=2b−da + b = (b - d) + b = 2b - d olur. d>2bd > 2b olduğundan 2b−d<02b - d < 0'dır. Dolayısıyla a+b<0a + b < 0 olur.
- bb sayısı aa ve cc'nin ortasında olduğundan a+c=2ba + c = 2b yazılır. b>0b > 0 olduğundan a+c>0a + c > 0 olur.
Mutlak değer dışına çıkarma kurallarını doğru uygulayabilmek.
4
Mutlak değerli ifadeleri dışarı çıkarıp sadeleştirme işlemini tamamlama.
Belirlenen işaretlere göre ifadeleri mutlak değer dışına çıkaralım:
- ∣a−b∣=−(a−b)=b−a=d|a - b| = -(a - b) = b - a = d
- ∣b−c∣=−(b−c)=c−b=d|b - c| = -(b - c) = c - b = d
- ∣a+b∣=−(a+b)=d−2b|a + b| = -(a + b) = d - 2b
- ∣a+c∣=a+c=2b|a + c| = a + c = 2b

Yerine koyarsak:
∣a−b∣+∣b−c∣∣a+b∣+∣a+c∣=d+d(d−2b)+2b=2dd=2\frac{|a - b| + |b - c|}{|a + b| + |a + c|} = \frac{d + d}{(d - 2b) + 2b} = \frac{2d}{d} = 2
İfadenin en sade sayısal değerini elde etmek.

Anahtar Kavram

Mutlak değerin geometrik yorumu (uzaklık) ve mutlak değer içerisindeki ifadenin işaretine göre dışarı çıkarılması.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Mutlak Değer Kavramı ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru