Examkin

Soru

Zorluk: OrtaMutlak Değerli Eşitsizlikler
∣x−3∣⋅∣x+2∣≤−∣x−3∣|x - 3| \cdot |x + 2| \le -|x - 3|

eşitsizliğini sağlayan xx gerçel sayılarının kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A
    ∅\emptyset
  2. {3}\{3\}Cevap
  3. C
    {−2,3}\{-2, 3\}
  4. D
    [−2,3][-2, 3]
  5. E
    {−2}\{-2\}

Cevap

Sadece 3 elemanından oluşan {3} kümesidir.
Verilen eşitsizlik ∣x−3∣⋅(∣x+2∣+1)≤0|x - 3| \cdot (|x + 2| + 1) \le 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. ∣x+2∣+1|x + 2| + 1 ifadesi daima pozitif olduğundan, eşitsizliğin sağlanması ancak ∣x−3∣=0|x - 3| = 0 durumu ile mümkündür. Buradan x=3x = 3 elde edilir ve çözüm kümesi sadece bu elemanı içerir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliğin sağ tarafındaki terimi sol tarafa ekleyerek sıfıra göre düzenleyin.
∣x−3∣⋅∣x+2∣+∣x−3∣≤0|x - 3| \cdot |x + 2| + |x - 3| \le 0
Tüm ifadeleri bir tarafa toplayarak ortak çarpan parantezine alma ve işaret analizi yapabilmek için.
2
Sol taraftaki ifadeyi ∣x−3∣|x - 3| ortak parantezine alın.
∣x−3∣⋅(∣x+2∣+1)≤0|x - 3| \cdot (|x + 2| + 1) \le 0
Çarpım durumundaki ifadelerin işaret durumlarını ayrı ayrı değerlendirebilmek için.
3
Çarpanların alabileceği değer aralıklarını ve işaretlerini inceleyin.
Her xx gerçel sayısı için ∣x−3∣≥0|x - 3| \ge 0 ve ∣x+2∣≥0|x + 2| \ge 0 olur. Dolayısıyla, ikinci çarpan olan ∣x+2∣+1|x + 2| + 1 ifadesi her zaman en az 1 değerini alır ve kesinlikle pozitiftir (∣x+2∣+1>0|x + 2| + 1 > 0).
Mutlak değerin negatif olamayacağı özelliğini kullanarak çarpanlardan birinin işaretini kesinleştirmek için.
4
Çarpımın sonucunun sıfırdan küçük veya eşit olmasını sağlayan koşulu belirleyin.
Pozitif bir sayı ile ∣x−3∣|x - 3| çarpıldığında sonucun sıfırdan küçük veya eşit olması için ∣x−3∣≤0|x - 3| \le 0 olmalıdır. Mutlak değer negatif olamayacağından bu durum sadece ∣x−3∣=0|x - 3| = 0 iken sağlanır ve buradan x=3x = 3 bulunur.
Sıfırdan küçük veya eşit olma durumunu sağlayan tek değişken değerini elde etmek için.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli eşitsizliklerin çözümünde mutlak değerin negatif olamayacağı gerçeğinin kullanılması ve sadeleştirme hatalarından kaçınılması.
Bu soruyu puanla

Konular

Mutlak Değerli Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru