Examkin

Soru

Zorluk: OrtaMutlak Değer Kavramı ve Özellikleri
Sıfırdan farklı aa ve bb gerçel sayıları için,
∣a−b∣<∣a∣+∣b∣|a - b| < |a| + |b|
eşitliği sağlanmamaktadır.
Buna göre,
∣a⋅b∣−a⋅∣b∣+∣a∣⋅ba⋅b\frac{|a \cdot b| - a \cdot |b| + |a| \cdot b}{a \cdot b}
ifadesinin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevap: -2

Cevap

İfadenin alabileceği farklı değerlerin toplamı -2'dir.
Verilen koşul aa ve bb sayılarının zıt işaretli olmasını gerektirir (a⋅b<0a \cdot b < 0). Bu duruma göre ifadenin alabileceği değerler 1 ve -3 olarak bulunur, bu değerlerin toplamı ise -2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliğin sağlanmama koşulunun analiz edilmesi
a⋅b<0a \cdot b < 0
Her aa ve bb gerçel sayısı için ∣a−b∣≤∣a∣+∣b∣|a - b| \leq |a| + |b| eşitsizliği geçerlidir. ∣a−b∣<∣a∣+∣b∣|a - b| < |a| + |b| eşitsizliğinin sağlanmaması, ancak ve ancak ∣a−b∣=∣a∣+∣b∣|a - b| = |a| + |b| olması durumunda mümkündür. Sıfırdan farklı aa ve bb sayıları için bu eşitlik, aa ve bb'nin zıt işaretli olması (a⋅b<0a \cdot b < 0) durumunda sağlanır.
2
Birinci durum olan a>0a > 0 ve b<0b < 0 durumunun incelenmesi
İfadenin değeri 1'dir.
a>0a > 0 ise ∣a∣=a|a| = a ve b<0b < 0 ise ∣b∣=−b|b| = -b olur. Ayrıca a⋅b<0a \cdot b < 0 olduğundan ∣a⋅b∣=−a⋅b|a \cdot b| = -a \cdot b olur. Bu değerler ifadede yerine konulduğunda −ab−a(−b)+abab=abab=1\frac{-ab - a(-b) + ab}{ab} = \frac{ab}{ab} = 1 elde edilir.
3
İkinci durum olan a<0a < 0 ve b>0b > 0 durumunun incelenmesi
İfadenin değeri -3'tür.
a<0a < 0 ise ∣a∣=−a|a| = -a ve b>0b > 0 ise ∣b∣=b|b| = b olur. Ayrıca a⋅b<0a \cdot b < 0 olduğundan ∣a⋅b∣=−a⋅b|a \cdot b| = -a \cdot b olur. Bu değerler ifadede yerine konulduğunda −ab−ab−abab=−3abab=−3\frac{-ab - ab - ab}{ab} = \frac{-3ab}{ab} = -3 elde edilir.
4
Farklı değerlerin toplamının hesaplanması
-2
İfadenin alabileceği farklı değerler 1 ve -3 olduğundan, bu değerlerin toplamı 1+(−3)=−21 + (-3) = -2 olur.

Anahtar Kavram

Mutlak değerin üçgen eşitsizliği özellikleri ve mutlak değer dışına çıkarma kuralları
Bu soruyu puanla

Konular

Mutlak Değer Kavramı ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru