Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKümelerde Kesişim ve Birleşim İşlemleri

Bir okul kütüphanesindeki kitaplardan macera (MM), bilimkurgu (BB) ve tarih (TT) türünde olanlarla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Kütüphanede bu üç kitap türünden en az birine ait olan toplam 8080 kitap bulunmaktadır.
* Hem macera hem de bilimkurgu türünde olan kitapların sayısı 1212'dir.
* Bilimkurgu ve tarih türündeki kitapların kesişim kümesinin eleman sayısı, macera ve tarih türündeki kitapların kesişim kümesinin eleman sayısının 22 katıdır.
* Bu kitaplardan yalnızca bir türe ait olanların toplam sayısı 4545'tir.
* Her üç türe de ait olan kitap sayısı 55'tir.

Buna göre, kütüphanede hem tarih hem de bilimkurgu türünde olan toplam kitap sayısı kaçtır?

  1. A
    1111
  2. B
    1212
  3. 2222Cevap
  4. D
    1717
  5. E
    2727

Cevap

Tarih ve bilimkurgu türündeki kitapların kesişim kümesinin eleman sayısı 2222'dir.
Kütüphanedeki tüm kitapların birleşimi olan M∪B∪TM \cup B \cup T kümesinin eleman sayısı 8080'dir. Yalnızca tek bir türe ait kitapların sayısı (4545) ve her üç türe ait kitap sayısı (55) çıkarıldığında, geriye yalnızca iki türe ait olan kesişim bölgelerinin eleman sayıları toplamı 80−45−5=3080 - 45 - 5 = 30 kalır. Hem macera hem bilimkurgu türündeki 1212 kitaptan üçlü kesişim (55) çıkarıldığında yalnızca macera ve bilimkurgu olan kitap sayısı 77 bulunur. Buradan yalnızca macera-tarih (yy) ve yalnızca bilimkurgu-tarih (zz) kitaplarının toplamı 30−7=2330 - 7 = 23 elde edilir. Kesişim kümeleri arasındaki 22 kat ilişkisinden z+5=2(y+5)  ⟹  z=2y+5z + 5 = 2(y + 5) \implies z = 2y + 5 bağıntısı bulunur. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde y=6y = 6 ve z=17z = 17 değerleri elde edilir. Sonuç olarak tarih ve bilimkurgu kesişimi s(B∩T)=z+5=17+5=22s(B \cap T) = z + 5 = 17 + 5 = 22 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Kütüphanedeki kitap türlerini temsil eden üç kümeli bir Venn şeması tanımlayalım. Yalnızca bir türe ait olan bölgelerin eleman sayıları toplamı m+b+t=45m + b + t = 45 olsun. Kesişim bölgelerinin yalnızca iki kümeye ait olan kısımları s(M∩B∖T)=xs(M \cap B \setminus T) = x, s(M∩T∖B)=ys(M \cap T \setminus B) = y, s(B∩T∖M)=zs(B \cap T \setminus M) = z ve her üç kümeye ortak olan bölge s(M∩B∩T)=w=5s(M \cap B \cap T) = w = 5 olsun.
Tüm kitapların birleşimi m+b+t+x+y+z+w=80m + b + t + x + y + z + w = 80 denklemini verir.
Soruda verilen toplam kitap sayısı bilgisini matematiksel olarak ifade etmek.
2
Hem macera hem bilimkurgu olan kitap sayısı s(M∩B)=x+w=12s(M \cap B) = x + w = 12 olarak verilmiştir. w=5w = 5 olduğuna göre x+5=12  ⟹  x=7x + 5 = 12 \implies x = 7 elde edilir. Bu değerleri birinci adımda kurulan toplam denklemine yazalım: 45+7+y+z+5=8045 + 7 + y + z + 5 = 80.
y+z=23y + z = 23 denklemi bulunur.
Bilinmeyen kesişim bölgelerinin toplam eleman sayısını belirlemek.
3
Bilimkurgu ve tarih kesişimi olan s(B∩T)=z+5s(B \cap T) = z + 5 ifadesinin, macera ve tarih kesişimi olan s(M∩T)=y+5s(M \cap T) = y + 5 ifadesinin 22 katı olduğu bilgisini kullanalım: z+5=2(y+5)  ⟹  z=2y+5z + 5 = 2(y + 5) \implies z = 2y + 5. Bu eşitliği y+z=23y + z = 23 denkleminde yerine yazalım.
y+(2y+5)=23  ⟹  3y=18  ⟹  y=6y + (2y + 5) = 23 \implies 3y = 18 \implies y = 6 ve z=2(6)+5=17z = 2(6) + 5 = 17 bulunur.
İki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek bireysel kesişim bölgelerinin eleman sayılarına ulaşmak.
4
Hem tarih hem bilimkurgu türündeki toplam kitap sayısını (s(B∩T)s(B \cap T)) hesaplayalım: s(B∩T)=z+ws(B \cap T) = z + w.
s(B∩T)=17+5=22s(B \cap T) = 17 + 5 = 22 bulunur.
Soruda bizden istenen kesişim kümesinin toplam eleman sayısını elde etmek.

Anahtar Kavram

Kümelerde kesişim ve birleşim işlemlerinin Venn şeması yardımıyla modellenmesi ve alt bölgelerin eleman sayılarının hesaplanması.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Kümelerde Kesişim ve Birleşim İşlemleri

Bu konudan daha fazla soru