Examkin

Soru

Zorluk: ZorÇarpanlara Ayırma ve Özdeşlikler

a,ba, b ve cc toplamları sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,

a−b=2+3a - b = 2 + \sqrt{3}
b−c=2−3b - c = 2 - \sqrt{3}

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

a3+b3+c3−3abca+b+c\frac{a^3 + b^3 + c^3 - 3abc}{a + b + c}

ifadesinin değeri kaçtır?

  1. A
    7
  2. B
    13
  3. 15Cevap
  4. D
    26
  5. E
    30

Cevap

İfadenin sadeleşmiş halinin sayısal değeri 15 olarak bulunur.
Verilen rasyonel ifadenin payı çarpanlarına ayrıldığında paydadaki terim ile sadeleşir. Geriye kalan üç değişkenli ikinci derece ifade, ikişerli farkların kareleri toplamının yarısına eşittir. Verilen iki fark toplanarak üçüncü fark bulunur ve kareleri toplamının yarısı hesaplandığında doğru cevap olan 15 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmında yer alan a3+b3+c3−3abca^3 + b^3 + c^3 - 3abc ifadesinin çarpanlara ayırma özdeşliğini yazmak.
a3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) elde edilir.
Rasyonel ifadedeki pay ve payda terimlerini sadeleştirebilmek için payı çarpanlarına ayırmamız gerekir.
2
Elde edilen çarpanı rasyonel ifadede yerine yazarak sadeleştirme yapmak.
a+b+c≠0a+b+c \neq 0 olduğu için paydadaki terim sadeleşir ve geriye sadece a2+b2+c2−ab−bc−caa^2+b^2+c^2-ab-bc-ca kalır.
İfadeyi daha basit ve hesaplanabilir bir forma indirgemek.
3
Kalan a2+b2+c2−ab−bc−caa^2+b^2+c^2-ab-bc-ca ifadesini, verilen ikişerli farkları kullanabilmek amacıyla tam karelerin toplamı cinsinden yeniden yazmak.
a2+b2+c2−ab−bc−ca=12[(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2]a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca = \frac{1}{2} \left[ (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \right] özdeşliği elde edilir.
Soruda verilen a−ba-b ve b−cb-c değerlerini doğrudan formülde kullanabilmek.
4
Verilmeyen a−ca-c farkını bulmak için taraf tarafa toplama yapmak.
(a−b)+(b−c)=a−c⇒(2+3)+(2−3)=4(a-b) + (b-c) = a-c \Rightarrow (2+\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3}) = 4 bulunur. Buradan (c−a)2=(−4)2=16(c-a)^2 = (-4)^2 = 16 elde edilir.
Özdeşlikte yer alan üçüncü fark teriminin değerini belirlemek.
5
Bulunan tüm değerleri tam kareli özdeşlikte yerine yazıp sonucu hesaplamak.
a−b=2+3⇒(a−b)2=(2+3)2=7+43a-b = 2+\sqrt{3} \Rightarrow (a-b)^2 = (2+\sqrt{3})^2 = 7+4\sqrt{3} ve b−c=2−3⇒(b−c)2=(2−3)2=7−43b-c = 2-\sqrt{3} \Rightarrow (b-c)^2 = (2-\sqrt{3})^2 = 7-4\sqrt{3} değerleri yerine yazılırsa: 12[(7+43)+(7−43)+16]=12[14+16]=12[30]=15\frac{1}{2} [ (7+4\sqrt{3}) + (7-4\sqrt{3}) + 16 ] = \frac{1}{2} [ 14 + 16 ] = \frac{1}{2} [30] = 15 bulunur.
Sadeleşmiş ifadenin sayısal değerini nihai olarak hesaplamak.

Anahtar Kavram

Üç değişkenli küp açılımı özdeşliği ve tam kare ifadelerin toplamı biçimine dönüştürülmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Çarpanlara Ayırma ve Özdeşlikler

Bu konudan daha fazla soru