Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorAsal Sayılar ve Asal Çarpanlara Ayırma

Bir nn pozitif tam sayısının farklı asal çarpanlarının toplamı S(n)S(n), farklı asal çarpanlarının sayısı ise C(n)C(n) ile gösterilmektedir.

nn iki basamaklı bir doğal sayı olmak üzere,
S(n)⋅C(n)=n−11S(n) \cdot C(n) = n - 11
eşitliğini sağlayan tüm nn sayılarının toplamı kaçtır?
  1. A
    68
  2. B
    72
  3. C
    80
  4. 86Cevap
  5. E
    92

Cevap

Denklemi sağlayan iki basamaklı doğal sayılar 35 ve 51'dir. Bu sayıların toplamı 86'dır.
Doğru cevap olan 86 sayısı, denklemi sağlayan iki basamaklı doğal sayıların (3535 ve 5151) toplamıdır. Çözüm adımlarında görüldüğü üzere C(n)=2C(n)=2 durumunda (p−2)(q−2)=15(p-2)(q-2)=15 denklemi elde edilir ve buradan n=35n = 35 ile n=51n = 51 değerlerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Farklı asal çarpan sayısı C(n)C(n) değerine göre durumları sınıflandıralım.
C(n)C(n) değeri 1, 2 veya 3 olabilir.
İki basamaklı sayıların en fazla 3 farklı asal çarpanı olabilir (en küçük 4 farklı asal çarpanın çarpımı 2⋅3⋅5⋅7=2102 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210 olup iki basamaklı değildir).
2
C(n)=1C(n) = 1 durumunu inceleyelim. Bu durumda n=pkn = p^k (pp asal, k≥1k \geq 1) şeklindedir.
p⋅1=pk−11⇒p(pk−1−1)=11p \cdot 1 = p^k - 11 \Rightarrow p(p^{k-1} - 1) = 11 elde edilir. 11 asal olduğundan p=11p=11 ve 11k−1−1=1⇒11k−1=211^{k-1}-1=1 \Rightarrow 11^{k-1}=2 olur ki bunun tam sayı çözümü yoktur.
Tek asal çarpanı olan sayıların denklemi sağlayıp sağlamadığını belirlemek için.
3
C(n)=2C(n) = 2 durumunu inceleyelim. Bu durumda n=pa⋅qbn = p^a \cdot q^b (p<qp < q asal, a,b≥1a, b \geq 1) şeklindedir. Denklem 2(p+q)=paqb−112(p+q) = p^a q^b - 11 olur.
paqb−2p−2q=11p^a q^b - 2p - 2q = 11 eşitliği elde edilir.
İki farklı asal çarpanı olan sayıların denklemini oluşturmak için.
4
a=1a=1 ve b=1b=1 durumu için elde edilen pq−2p−2q=11pq - 2p - 2q = 11 denklemini çarpanlarına ayıralım.
pq−2p−2q+4=11+4⇒(p−2)(q−2)=15pq - 2p - 2q + 4 = 11 + 4 \Rightarrow (p-2)(q-2) = 15 elde edilir.
Eşitliğin sol tarafını ortak çarpan parantezine alarak çarpanlara ayırmak için her iki tarafa 4 eklenir.
5
(p−2)(q−2)=15(p-2)(q-2) = 15 denklemini p<qp < q asal sayı koşuluyla çözelim.
15'in çarpanları göz önüne alındığında:
1) p−2=1⇒p=3p-2=1 \Rightarrow p=3 ve q−2=15⇒q=17q-2=15 \Rightarrow q=17 (her ikisi de asal). Buradan n=3⋅17=51n = 3 \cdot 17 = 51 bulunur.
2) p−2=3⇒p=5p-2=3 \Rightarrow p=5 ve q−2=5⇒q=7q-2=5 \Rightarrow q=7 (her ikisi de asal). Buradan n=5⋅7=35n = 5 \cdot 7 = 35 bulunur.
pp ve qq değerlerinin asal sayı olma koşulunu sağlayan durumları bulmak için.
6
a≥2a \geq 2 veya b≥2b \geq 2 durumlarını ve C(n)=3C(n) = 3 durumunu kontrol edelim.
a≥2a \geq 2 veya b≥2b \geq 2 için yapılan incelemede asal sayı çözümü gelmez. C(n)=3C(n) = 3 için n≥3(2+3+5)+11=41n \geq 3(2+3+5)+11 = 41 olmalıdır; ancak iki basamaklı ve 3 asal çarpanlı sayılardan (42, 60, 66, 70, 78, 84, 90) hiçbirinin denklemi sağlamadığı görülür.
Tüm olası çözümlerin eksiksiz olarak bulunduğundan emin olmak için.
7
Elde edilen nn değerlerini toplayalım.
35+51=8635 + 51 = 86 elde edilir.
Soruda istenen toplam değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Asal sayılar, asal çarpanlara ayırma ve çarpanlara ayırma yöntemleri kullanılarak iki bilinmeyenli denklemlerin çözümü.
Bu soruyu puanla

Konular

Asal Sayılar ve Asal Çarpanlara Ayırma

Bu konudan daha fazla soru