Examkin

Soru

Zorluk: ZorKüme Problemleri

Bir teknoloji mağazasında akıllı termostat (TT), akıllı kamera (KK) ve akıllı kilit (LL) ürünlerinden en az birini satın alan müşteriler arasında bir memnuniyet anketi yapılmıştır. Ankete katılan müşteriler ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Yalnızca akıllı termostat satın alanların sayısı, akıllı kilit satın alanların toplam sayısına eşittir.
* Bu üç üründen en az ikisini satın alanların sayısı, yalnızca akıllı kamera satın alanların sayısının 22 katıdır.
* En çok bir ürün satın alanların sayısı, en az bir ürün satın alanların sayısının 23\frac{2}{3}'üdür.
* Yalnızca akıllı kamera satın alanların sayısı, yalnızca akıllı kilit satın alanların sayısından 22 fazladır.
* Her üç ürünü de satın alanların sayısı 66'dır ve bu sayı yalnızca akıllı termostat ve akıllı kamera satın alanların sayısından 22 fazladır.

Buna göre, bu ankete katılan toplam müşteri sayısı kaçtır?

Cevap: 48 kişi

Cevap

Ankete katılan toplam müşteri sayısı 48'dir.
Verilen oranlar ve bölge tanımlamaları doğrultusunda, tüm küme elemanları tek bir değişkene (yalnızca kamera satın alanların sayısı olan bb değişkenine) indirgenmiştir. Buradan elde edilen b=8b = 8 değeriyle toplam müşteri sayısının 6b=486b = 48 olduğu kesin olarak ispatlanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Kümeleri ve bölgeleri değişkenler kullanarak tanımlama
Müşterilerin aldıkları ürünlere göre küme bölgelerini belirleyelim:
- Yalnızca TT satın alanlar: aa
- Yalnızca KK satın alanlar: bb
- Yalnızca LL satın alanlar: cc
- Yalnızca TT ve KK satın alanlar: dd
- Yalnızca KK ve LL satın alanlar: ee
- Yalnızca TT ve LL satın alanlar: ff
- Her üçünü de satın alanlar: g=6g = 6
Toplam müşteri sayısı N=a+b+c+d+e+f+gN = a + b + c + d + e + f + g olur.
Soruda verilen sözel ifadeleri cebirsel denklemlere dökebilmek için küme bölgelerini harflendirmemiz gerekir.
2
Verilen oranları kullanarak toplam müşteri sayısı NN ile yalnızca kamera alanların sayısı bb arasındaki ilişkiyi kurma
En çok bir ürün alanların sayısı: a+b+ca + b + c
En az bir ürün alanların sayısı (toplam müşteri sayısı): NN
Verilen bilgiye göre: a+b+c=23Na + b + c = \frac{2}{3} N
Bu durumda, en az iki ürün alanların sayısı: d+e+f+g=13N  ⟹  N=3(d+e+f+g)d + e + f + g = \frac{1}{3} N \implies N = 3(d + e + f + g) olur.
Diğer yandan, en az iki ürün alanların sayısı, yalnızca akıllı kamera satın alanların sayısının 22 katı olduğundan:
d+e+f+g=2bd + e + f + g = 2b yazılır.
Bu iki eşitliği birleştirdiğimizde: 13N=2b  ⟹  N=6b\frac{1}{3} N = 2b \implies N = 6b elde edilir.
Farklı bölge gruplarının oranlarını tek bir değişken (bb) üzerinden ifade edebilmek için.
3
Tekli bölgeleri yalnızca kamera satın alanların sayısı bb cinsinden ifade etme
Yalnızca kamera alanların sayısı (bb), yalnızca kilit alanların sayısından (cc) 22 fazla ise:
b=c+2  ⟹  c=b−2b = c + 2 \implies c = b - 2 olur.
En çok bir ürün alanların toplamı: a+b+c=23N=23(6b)=4ba + b + c = \frac{2}{3} N = \frac{2}{3}(6b) = 4b dir.
Burada c=b−2c = b - 2 yazarsak:
a+b+(b−2)=4b  ⟹  a+2b−2=4b  ⟹  a=2b+2a + b + (b - 2) = 4b \implies a + 2b - 2 = 4b \implies a = 2b + 2 elde edilir.
Bilinmeyen sayısını azaltarak tek bir değişkene bağlı denklem oluşturmak için.
4
Küme eşitliği ve kesişim bölgelerini düzenleme
Her üç ürünü de satın alanlar: g=6g = 6 kişi.
Bu sayı yalnızca TT ve KK alanlardan 22 fazla olduğundan: 6=d+2  ⟹  d=46 = d + 2 \implies d = 4 kişi.
Yalnızca akıllı termostat satın alanların sayısı (aa), akıllı kilit satın alanların toplam sayısına (s(L)=c+e+f+gs(L) = c + e + f + g) eşit olduğundan:
a=c+e+f+ga = c + e + f + g
Bulduğumuz ifadeleri yerine yazalım:
2b+2=(b−2)+e+f+6  ⟹  2b+2=b+4+e+f  ⟹  e+f=b−22b + 2 = (b - 2) + e + f + 6 \implies 2b + 2 = b + 4 + e + f \implies e + f = b - 2 elde edilir.
Akıllı kilit satın alanların kümesinin tamamını hesaba katarak bilinmeyen kesişim bölgelerinin toplamını bulmak için.
5
Denklemleri birleştirip bb ve NN değerlerini hesaplama
En az iki ürün alanların toplamı formülünü kullanalım:
d+e+f+g=2bd + e + f + g = 2b
Bildiğimiz değerleri yerine yazalım (d=4d = 4, g=6g = 6, e+f=b−2e + f = b - 2):
4+(b−2)+6=2b  ⟹  b+8=2b  ⟹  b=84 + (b - 2) + 6 = 2b \implies b + 8 = 2b \implies b = 8 bulunur.
Toplam müşteri sayısı ise:
N=6b=6×8=48N = 6b = 6 \times 8 = 48 olarak hesaplanır.
Tüm ara değerleri bir araya getirerek kesin sayısal sonucu elde etmek için.

Anahtar Kavram

Cebirsel Modelleme ile Üçlü Küme Problemlerinin Çözümü
Bu soruyu puanla

Konular

Küme Problemleri

Bu konudan daha fazla soru