Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKümelerde Kesişim ve Birleşim İşlemleri

120120 pozitif tam sayısının tüm pozitif bölenlerinin kümesi UU olsun.
- UU kümesinin çift sayılardan oluşan alt kümesi AA,
- UU kümesinin 3'ün katı olan sayılardan oluşan alt kümesi BB
olarak tanımlanıyor.

Buna göre, A∪BA \cup B kümesinin eleman sayısı kaçtır?

  1. A
    10
  2. B
    12
  3. 14Cevap
  4. D
    16
  5. E
    18

Cevap

Birleşim kümesinin eleman sayısı 14'tür.
Birleşim kümesinin eleman sayısı formülü s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) şeklindedir. Çift bölenlerin sayısı 12, 3'ün katı olan bölenlerin sayısı 8 ve hem çift hem 3'ün katı (yani 6'nın katı) olan ortak bölenlerin sayısı 6 olarak hesaplandığında, birleşim kümesinin eleman sayısı 12 + 8 - 6 = 14 olur.

Adım Adım Çözüm

1
120 sayısını asal çarpanlarına ayırarak pozitif bölen sayısını bulunuz.
120=23⋅31⋅51120 = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1 şeklindedir. Pozitif bölen sayısı (3+1)(1+1)(1+1)=4⋅2⋅2=16(3+1)(1+1)(1+1) = 4 \cdot 2 \cdot 2 = 16 olur.
Evrensel küme olan UU kümesinin toplam eleman sayısını belirlemek için.
2
AA kümesinin eleman sayısını bulunuz.
AA kümesi, 120'nin çift pozitif bölenlerinden oluşur. Çift bölenleri bulmak için ifadeyi 2⋅(22⋅31⋅51)2 \cdot (2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1) şeklinde yazarız. Parantez içindeki ifadenin pozitif bölen sayısı s(A)=(2+1)(1+1)(1+1)=3⋅2⋅2=12s(A) = (2+1)(1+1)(1+1) = 3 \cdot 2 \cdot 2 = 12 olur.
Çift olan bölenlerin sayısını belirlemek için.
3
BB kümesinin eleman sayısını bulunuz.
BB kümesi, 120'nin 3'ün katı olan pozitif bölenlerinden oluşur. Bu bölenleri bulmak için ifadeyi 3⋅(23⋅51)3 \cdot (2^3 \cdot 5^1) şeklinde yazarız. Parantez içindeki ifadenin pozitif bölen sayısı s(B)=(3+1)(1+1)=4⋅2=8s(B) = (3+1)(1+1) = 4 \cdot 2 = 8 olur.
3'ün katı olan bölenlerin sayısını belirlemek için.
4
A∩BA \cap B kesişim kümesinin eleman sayısını bulunuz.
A∩BA \cap B kümesi, hem çift hem de 3'ün katı olan (yani 6'nın katı olan) pozitif bölenlerden oluşur. Bu bölenleri bulmak için ifadeyi 6⋅(22⋅51)6 \cdot (2^2 \cdot 5^1) şeklinde yazarız. Parantez içindeki ifadenin pozitif bölen sayısı s(A∩B)=(2+1)(1+1)=3⋅2=6s(A \cap B) = (2+1)(1+1) = 3 \cdot 2 = 6 olur.
Hem çift hem de 3'ün katı olan ortak elemanların sayısını belirlemek için.
5
A∪BA \cup B kümesinin eleman sayısını birleşim formülü ile hesaplayınız.
s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)=12+8−6=14s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) = 12 + 8 - 6 = 14 bulunur.
Kümelerde birleşim işleminin eleman sayısı formülünü uygulamak için.

Anahtar Kavram

Kümelerde kesişim ve birleşim işlemlerinin eleman sayıları arasındaki ilişki ve pozitif bölen sayısı hesabı.

Alternatif Yöntem

120 sayısının pozitif bölenlerinin tamamından (16 eleman), hem tek olan hem de 3'ün katı olmayan elemanları çıkararak da sonuca ulaşabiliriz. Tek olan bölenler {1,3,5,15}\{1, 3, 5, 15\} kümesidir. Bunlardan 3'ün katı olmayanlar ise {1,5}\{1, 5\} olup 2 tanedir. Dolayısıyla A∪BA \cup B kümesinin eleman sayısı 16−2=1416 - 2 = 14 bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Kümelerde Kesişim ve Birleşim İşlemleri

Bu konudan daha fazla soru